Verifique se o conjunto \mathcal{C}=\{(3,1),(6,2)\} gera o espaço \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \mathcal{C}=\{(3,1),(6,2)\} e pede para verificar se esse conjunto gera o espaço \mathbb{R}^{2}.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • Os vetores do conjunto são (3,1) e (6,2).\n
    Pergunta clara: \mathcal{C} gera \mathbb{R}^{2}? Ou seja, qualquer vetor arbitrário (x,y)\in\mathbb{R}^2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores de \mathcal{C}?

Passo 2

Definição prática do que significa "gerar \mathbb{R}^{2}".\n
Um conjunto gera \mathbb{R}^{2} quando todo vetor (x,y)\in\mathbb{R}^{2} pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto. Aqui, isso quer dizer que devemos ter
\operatorname{span}(\mathcal{C})=\{\alpha(3,1)+\beta(6,2)\mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\}=\mathbb{R}^{2}.
Explicando: \alpha e \beta são números reais (coeficientes) que multiplicam cada vetor; se para todo (x,y) existir \alpha,\beta tal que \alpha(3,1)+\beta(6,2)=(x,y), então \mathcal{C} gera \mathbb{R}^2.

Passo 3

Escrever o sistema de equações para exigir que uma combinação linear produza um vetor arbitrário (x,y)\).\n Se quisermos \(\alpha(3,1)+\beta(6,2)=(x,y)\), isso dá o sistema de componentes: \[\begin{cases} 3\alpha+6\beta = x,\\[4pt] \alpha+2\beta = y. \end{cases}
Aqui cada linha corresponde à igualdade das componentes x\] e \(y.]

Passo 4

Resolver o sistema (eliminação simples) e ver se sempre existe solução para \alpha,\beta dado qualquer (x,y).\n
Observe que a segunda equação é \alpha+2\beta=y. Multiplicando-a por 3 obtemos 3\alpha+6\beta=3y. Comparando com a primeira equação 3\alpha+6\beta=x, vemos que é necessário que
x=3y
para as duas equações serem compatíveis. Logo, só existe solução para \alpha,\beta quando x=3y. Portanto nem todo (x,y)\in\mathbb{R}^2 pode ser escrito assim — somente os vetores que satisfazem x=3y.

Passo 5

Interpretação geométrica e outro teste rápido (dependência linear / determinante).\n
Note que (6,2)=2\,(3,1). Ou seja, os dois vetores são proporcionais: estão sobre a mesma reta que passa pela origem. Isso significa que os vetores são linearmente dependentes e geram apenas uma reta (subespaço de dimensão 1), não o plano inteiro.\n
Como verificação alternativa, coloque os vetores como colunas da matriz
A=\begin{pmatrix}3 & 6\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A)=3\cdot 2 - 6\cdot 1 = 6-6=0.
Determinante zero indica que as colunas não são linearmente independentes e que a matriz não é invertível — portanto não existe combinação que produza arbitrariamente todo \mathbb{R}^2.]

Passo 6

Concluir qual é o espaço gerado por \mathcal{C} e responder à pergunta.\n
Dos passos anteriores segue que
\operatorname{span}(\mathcal{C})=\{t(3,1)\mid t\in\mathbb{R}\}=\{(3t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x=3y\},
que é uma reta através da origem, e não o plano inteiro \mathbb{R}^2.

Resposta

Não. \operatorname{span}(\mathcal{C})=\{t(3,1)\mid t\in\mathbb{R}\}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x=3y\}, que é uma reta (subespaço de dimensão 1), portanto \mathcal{C} não gera \mathbb{R}^2.

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