Verifique se o conjunto
gera o espaço
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para verificar se esse conjunto gera o espaço
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Os vetores do conjunto são
e .\n
Pergunta clara:gera ? Ou seja, qualquer vetor arbitrário pode ser escrito como combinação linear dos vetores de ?
Passo 2
Definição prática do que significa "gerar
".\n
Um conjunto gera quando todo vetor
pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto. Aqui, isso quer dizer que devemos ter
Um conjunto gera
Explicando:
e
são números reais (coeficientes) que multiplicam cada vetor; se para todo
existir
tal que
, então
gera
.
Passo 3
Escrever o sistema de equações para exigir que uma combinação linear produza um vetor arbitrário
Aqui cada linha corresponde à igualdade das componentes
.]
Passo 4
Resolver o sistema (eliminação simples) e ver se sempre existe solução para
dado qualquer
.\n
Observe que a segunda equação é . Multiplicando-a por
obtemos
. Comparando com a primeira equação
, vemos que é necessário que
Observe que a segunda equação é
para as duas equações serem compatíveis. Logo, só existe solução para
quando
. Portanto nem todo
pode ser escrito assim — somente os vetores que satisfazem
.
Passo 5
Interpretação geométrica e outro teste rápido (dependência linear / determinante).\n
Note que . Ou seja, os dois vetores são proporcionais: estão sobre a mesma reta que passa pela origem. Isso significa que os vetores são linearmente dependentes e geram apenas uma reta (subespaço de dimensão
), não o plano inteiro.\n
Como verificação alternativa, coloque os vetores como colunas da matriz
Note que
Como verificação alternativa, coloque os vetores como colunas da matriz
O determinante é
Determinante zero indica que as colunas não são linearmente independentes e que a matriz não é invertível — portanto não existe combinação que produza arbitrariamente todo
.]
Passo 6
Concluir qual é o espaço gerado por
e responder à pergunta.\n
Dos passos anteriores segue que
Dos passos anteriores segue que
que é uma reta através da origem, e não o plano inteiro
.
Resposta
Não.
, que é uma reta (subespaço de dimensão
), portanto
não gera
.