Verifique se o conjunto \mathcal{E}=\{(1,1,0),(0,2,3),(0,0,-1)\} é uma base de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto \mathcal{E}=\{(1,1,0),(0,2,3),(0,0,-1)\} é uma base de \mathbb{R}^{3}.\n
Informações dadas:\n
\quad O primeiro vetor é (1,1,0).\n
\quad O segundo vetor é (0,2,3).\n
\quad O terceiro vetor é (0,0,-1).\n
A pergunta concreta é: esses três vetores formam uma base de \mathbb{R}^{3}?

Passo 2

O que significa "ser uma base de \mathbb{R}^{3}"? Vou explicar de forma prática e direta.\n
Uma lista de três vetores em \mathbb{R}^{3} é uma base se, e somente se, esses vetores forem linearmente independentes (ou equivalentemente, se gerarem todo \mathbb{R}^{3}).\n
Uma maneira simples de testar isso é montar a matriz que tem esses vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz: se o determinante for diferente de zero, então a matriz é invertível, o que implica que as colunas são linearmente independentes e, como são três vetores em \mathbb{R}^{3}, formam uma base. Se o determinante for zero, não são base.

Passo 3

Vamos construir a matriz A cujas colunas são os vetores de \mathcal{E}. Colocando (1,1,0), (0,2,3) e (0,0,-1) como colunas, obtemos:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}]

Passo 4

Agora calculamos o determinante de A. Observe que a primeira linha de A é (1,0,0), o que torna o cálculo bem direto: ao expandir por cofactores na primeira linha, só o primeiro elemento contribui. Formalmente,
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix} - 0\cdot(\cdots) + 0\cdot(\cdots).
Os termos multiplicados por 0 desaparecem, então precisamos só da determinante do menor 2\times2.]

Passo 5

Calcule o determinante do menor 2\times2:
\det\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix}=2\cdot(-1)-0\cdot 3 = -2.
Portanto
\det(A) = 1\cdot(-2) = -2.]

Passo 6

Como \det(A)=-2\neq 0, a matriz A é invertível. Isso significa que as colunas de A (que são exatamente os vetores de \mathcal{E}) são linearmente independentes. Sendo três vetores linearly independentes em \mathbb{R}^{3}, eles também geram \mathbb{R}^{3}. Portanto \mathcal{E} é uma base de \mathbb{R}^{3}.\n
Resumo intuitivo: o determinante não nulo mostra que não há combinação linear não trivial que zere os vetores, então eles formam uma “estrutura completa” para o espaço.

Resposta

Sim: \mathcal{E} é uma base de \mathbb{R}^{3}, pois \det(A)=-2\neq0.

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