Verifique se o conjunto \mathcal{A}=\{(1,2),(-1,1)\} gera o espaço \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto \mathcal{A}=\{(1,2),(-1,1)\} gera o espaço \mathbb{R}^{2}.
Informações dadas: os dois vetores são (1,2) e (-1,1).
O que se pede: decidir se qualquer vetor arbitrário (x,y)\in\mathbb{R}^{2} pode ser escrito como combinação linear desses dois vetores.

Passo 2

O que significa "gerar \mathbb{R}^{2}"? Vou explicar devagarinho.
Dizemos que \mathcal{A} gera \mathbb{R}^{2} se todo vetor (x,y)\in\mathbb{R}^{2} pode ser escrito como combinação linear dos vetores de \mathcal{A}, ou seja, existem escalares a e b tais que
a(1,2)+b(-1,1)=(x,y).
Essa é a condição de “span” (ou “geração”): a coleção de todas as combinações lineares possíveis desses vetores deve cobrir todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 3

Vamos traduzir a condição de combinação linear em um sistema de equações. Escrevendo componente a componente:
a\cdot 1 + b\cdot (-1) = x
a\cdot 2 + b\cdot 1 = y.
Ou, mais compacto,
\begin{cases} a - b = x,\\[4pt] 2a + b = y. \end{cases}]

Passo 4

Uma maneira eficiente de analisar se sempre é possível resolver esse sistema para a e b (para qualquer (x,y)) é montar a matriz cujas colunas são os vetores dados e verificar se essa matriz é invertível. A matriz com colunas (1,2) e (-1,1) é
M = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\[4pt] 2 & 1 \end{pmatrix}.
Para matrizes 2\times2, um critério simples de inversibilidade (e portanto de geração) é o determinante: se \det(M)\neq 0, a matriz é inversível e os vetores geram todo \mathbb{R}^{2}.]

Passo 5

Calculemos o determinante de M. Para matriz \begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix} temos \det = ad-bc. Aplicando aqui:
\det(M) = 1\cdot 1 - (-1)\cdot 2 = 1 + 2 = 3.
Como \det(M)=3\neq 0, a matriz é invertível.

Passo 6

Interpretação do resultado: \det(M)\neq 0 implica que os vetores (1,2) e (-1,1) são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^{2}. Portanto eles geram todo \mathbb{R}^{2}. Além disso, para ver de forma explícita a solução para a e b em função de (x,y), resolvemos o sistema do Passo 3. Somando as duas equações (ou resolvendo por substituição) obtemos
2x+3b=y \quad\Rightarrow\quad b=\frac{y-2x}{3},
e então
a = x + b = x + \frac{y-2x}{3} = \frac{x+y}{3}.
Isso mostra que, para qualquer (x,y), existem a e b (únicos) que representam (x,y) como combinação linear dos dois vetores dados.

Passo 7

Recapitulando de forma amigável: calculamos o determinante da matriz formada pelos vetores, deu \;3\neq 0\;, logo os vetores são independentes e geram \mathbb{R}^{2}. Se estiver nervoso na prova, o truque rápido é: montar a matriz 2×2 com os vetores como colunas e checar se o determinante é diferente de zero — se for, tá gerando tudo.

Resposta

Sim, \mathcal{A} gera \mathbb{R}^{2} (pois \det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}=3\neq 0).]

Exercícios relacionados