Verifique se o conjunto
gera o espaço
.
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
gera o espaço
.
Informações dadas: os dois vetores são e
.
O que se pede: decidir se qualquer vetor arbitrário pode ser escrito como combinação linear desses dois vetores.
Informações dadas: os dois vetores são
O que se pede: decidir se qualquer vetor arbitrário
Passo 2
O que significa "gerar
"? Vou explicar devagarinho.
Dizemos que gera
se todo vetor
pode ser escrito como combinação linear dos vetores de
, ou seja, existem escalares
e
tais que
Dizemos que
Essa é a condição de “span” (ou “geração”): a coleção de todas as combinações lineares possíveis desses vetores deve cobrir todo
.
Passo 3
Vamos traduzir a condição de combinação linear em um sistema de equações. Escrevendo componente a componente:
Ou, mais compacto,
Passo 4
Uma maneira eficiente de analisar se sempre é possível resolver esse sistema para
e
(para qualquer
) é montar a matriz cujas colunas são os vetores dados e verificar se essa matriz é invertível. A matriz com colunas
e
é
Para matrizes
, um critério simples de inversibilidade (e portanto de geração) é o determinante: se
, a matriz é inversível e os vetores geram todo
.]
Passo 5
Calculemos o determinante de
. Para matriz
temos
. Aplicando aqui:
Como
, a matriz é invertível.
Passo 6
Interpretação do resultado:
implica que os vetores
e
são linearmente independentes e formam uma base de
. Portanto eles geram todo
. Além disso, para ver de forma explícita a solução para
e
em função de
, resolvemos o sistema do Passo 3. Somando as duas equações (ou resolvendo por substituição) obtemos
e então
Isso mostra que, para qualquer
, existem
e
(únicos) que representam
como combinação linear dos dois vetores dados.
Passo 7
Recapitulando de forma amigável: calculamos o determinante da matriz formada pelos vetores, deu
, logo os vetores são independentes e geram
. Se estiver nervoso na prova, o truque rápido é: montar a matriz 2×2 com os vetores como colunas e checar se o determinante é diferente de zero — se for, tá gerando tudo.
Resposta
Sim,
gera
(pois
).]