Verifique se o conjunto
, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial real. Caso não seja, cite os axiomas que não são válidos.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e diz que as operações são a adição habitual de matrizes e a multiplicação por escalar habitual. Pergunta-se:
Informações relevantes fornecidas:
- Cada elemento de
é uma matriz com zeros na diagonal principal e entradas reais e nas posições off-diagonais. - As operações são as usuais sobre matrizes: soma componente a componente e multiplicação escalar componente a componente.
- Objetivo: verificar se
satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre (ou, de forma prática, se é um subespaço do espaço vetorial ).]
Passo 2
Lembrete prático (o teste que vamos usar).
- Se um subconjunto não vazio
de um espaço vetorial for fechado para soma e fechado para multiplicação por escalar (isto é, para quaisquer tem-se , e para qualquer e tem-se ), então é um subespaço de e, portanto, é um espaço vetorial (porque os demais axiomas já valem em e se restringem a ). Vou usar esse teste porque é a forma mais direta e econômica de provar que um conjunto de matrizes é espaço vetorial.
Passo 3
Fechamento para a adição — mostra passo a passo.
Sejam
Sejam
com
. A soma é
Como
e
, a matriz
tem a mesma forma dos elementos de
. Logo,
é fechada para adição.]
Passo 4
Fechamento para multiplicação por escalar — mostra passo a passo.
Tome e
Tome
Então
Como
, a matriz
também tem a forma exigida, logo
é fechada para multiplicação por escalar.]
Passo 5
Verificar que o conjunto não é vazio e contém o vetor nulo.
A matriz nula
corresponde a
e
, portanto
. Assim
é não vazio e contém o elemento neutro aditivo.]
Passo 6
Existência de inversos aditivos (mostrando que ficam em
).
Para
, o inverso aditivo é
e como
, tem-se
. Assim todo vetor em
tem inverso aditivo em
.]
Passo 7
Conclusão do teste de subespaço e porque os demais axiomas valem.
Já mostramos que é não vazio, fechada sob soma e fechada sob multiplicação por escalares; portanto
é um subespaço do espaço vetorial
. Como
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial (associatividade e comutatividade da soma, elemento neutro aditivo, inversos aditivos, distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de vetores e à soma de escalares, compatibilidade da multiplicação escalar com a multiplicação de escalares, e existência de
), esses axiomas passam para
por restrição. Logo todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos em
.
Já mostramos que
Passo 8
Exemplo numérico rápido para fixar a intuição.
Considere
Considere
Então
Isto reforça que operações usuais permanecem dentro de
.]
Resposta
Sim.
é um espaço vetorial real (é um subespaço de
).