Verifique se o conjunto \mathrm{A}=\left\{M=\left[\begin{array}{ll}0 & a \\\ b & 0\end{array}\right]: M_{2 x 2} \operatorname{com} a, b \in \mathbb{R}\right\}, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial real. Caso não seja, cite os axiomas que não são válidos.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
\mathrm{A}=\left\{M=\begin{bmatrix}0 & a \\[4pt] b & 0\end{bmatrix} : a,b\in\mathbb{R}\right\}
e diz que as operações são a adição habitual de matrizes e a multiplicação por escalar habitual. Pergunta-se: \mathrm{A} é um espaço vetorial real (com escalares em \mathbb{R})?
Informações relevantes fornecidas:
  • Cada elemento de \mathrm{A} é uma matriz 2\times2 com zeros na diagonal principal e entradas reais a e b nas posições off-diagonais.
  • As operações são as usuais sobre matrizes: soma componente a componente e multiplicação escalar componente a componente.
  • Objetivo: verificar se \mathrm{A} satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R} (ou, de forma prática, se é um subespaço do espaço vetorial M_{2\times2}(\mathbb{R})).]

Passo 2

Lembrete prático (o teste que vamos usar).
  • Se um subconjunto não vazio V de um espaço vetorial W for fechado para soma e fechado para multiplicação por escalar (isto é, para quaisquer u,v\in V tem-se u+v\in V, e para qualquer \lambda\in\mathbb{R} e v\in V tem-se \lambda v\in V), então V é um subespaço de W e, portanto, é um espaço vetorial (porque os demais axiomas já valem em W e se restringem a V). Vou usar esse teste porque é a forma mais direta e econômica de provar que um conjunto de matrizes é espaço vetorial.

Passo 3

Fechamento para a adição — mostra passo a passo.
Sejam
M_1=\begin{bmatrix}0 & a_1 \\[4pt] b_1 & 0\end{bmatrix},\qquad M_2=\begin{bmatrix}0 & a_2 \\[4pt] b_2 & 0\end{bmatrix},
com a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R}. A soma é
M_1+M_2=\begin{bmatrix}0+0 & a_1+a_2 \\[4pt] b_1+b_2 & 0+0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0 & a_1+a_2 \\[4pt] b_1+b_2 & 0\end{bmatrix}.
Como a_1+a_2\in\mathbb{R} e b_1+b_2\in\mathbb{R}, a matriz M_1+M_2 tem a mesma forma dos elementos de \mathrm{A}. Logo, \mathrm{A} é fechada para adição.]

Passo 4

Fechamento para multiplicação por escalar — mostra passo a passo.
Tome \lambda\in\mathbb{R} e
M=\begin{bmatrix}0 & a \\[4pt] b & 0\end{bmatrix}\in\mathrm{A}.
Então
\lambda M=\begin{bmatrix}\lambda\cdot 0 & \lambda\cdot a \\[4pt] \lambda\cdot b & \lambda\cdot 0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0 & \lambda a \\[4pt] \lambda b & 0\end{bmatrix}.
Como \lambda a,\lambda b\in\mathbb{R}, a matriz \lambda M também tem a forma exigida, logo \mathrm{A} é fechada para multiplicação por escalar.]

Passo 5

Verificar que o conjunto não é vazio e contém o vetor nulo.
A matriz nula O=\begin{bmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{bmatrix} corresponde a a=0 e b=0, portanto O\in\mathrm{A}. Assim \mathrm{A} é não vazio e contém o elemento neutro aditivo.]

Passo 6

Existência de inversos aditivos (mostrando que ficam em \mathrm{A}).
Para M=\begin{bmatrix}0 & a \\[4pt] b & 0\end{bmatrix}\in\mathrm{A}, o inverso aditivo é
-M=\begin{bmatrix}0 & -a \\[4pt] -b & 0\end{bmatrix},
e como -a,-b\in\mathbb{R}, tem-se -M\in\mathrm{A}. Assim todo vetor em \mathrm{A} tem inverso aditivo em \mathrm{A}.]

Passo 7

Conclusão do teste de subespaço e porque os demais axiomas valem.
Já mostramos que \mathrm{A} é não vazio, fechada sob soma e fechada sob multiplicação por escalares; portanto \mathrm{A} é um subespaço do espaço vetorial M_{2\times2}(\mathbb{R}). Como M_{2\times2}(\mathbb{R}) satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial (associatividade e comutatividade da soma, elemento neutro aditivo, inversos aditivos, distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de vetores e à soma de escalares, compatibilidade da multiplicação escalar com a multiplicação de escalares, e existência de 1\cdot v=v), esses axiomas passam para \mathrm{A} por restrição. Logo todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos em \mathrm{A}.

Passo 8

Exemplo numérico rápido para fixar a intuição.
Considere
M_1=\begin{bmatrix}0 & 1 \\[4pt] 2 & 0\end{bmatrix},\qquad M_2=\begin{bmatrix}0 & 3 \\[4pt] -5 & 0\end{bmatrix},\qquad \lambda=4.
Então
M_1+M_2=\begin{bmatrix}0 & 4 \\[4pt] -3 & 0\end{bmatrix}\in\mathrm{A}, \qquad \lambda M_1=\begin{bmatrix}0 & 4 \\[4pt] 8 & 0\end{bmatrix}\in\mathrm{A}.
Isto reforça que operações usuais permanecem dentro de \mathrm{A}.]

Resposta

Sim. \mathrm{A} é um espaço vetorial real (é um subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R})).

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