Sendo V um espaço vetorial e u, v, w
e
e
, prove que:
O simétrico do vetor - v é o vetor v .
O simétrico do vetor - v é o vetor v .
Passo 1
O enunciado dá que
é um espaço vetorial e que
e
.
O que se pede: provar que o simétrico (isto é, o inverso aditivo) do vetor é o vetor
. Em notação: mostrar que
.
O que se pede: provar que o simétrico (isto é, o inverso aditivo) do vetor
Passo 2
Definição que vamos usar (explicada): o simétrico ou inverso aditivo de um vetor
é um vetor
tal que
onde
é o vetor nulo de
. Em palavras:
é o vetor que somado a
dá o vetor nulo. Pelo axioma de espaço vetorial, para todo
existe pelo menos um tal
(o inverso aditivo de
).
Passo 3
Teorema útil (e sua prova): o inverso aditivo de um vetor é único. Prova detalhada:
Suponha que e
sejam ambos inversos aditivos de
, isto é,
Suponha que
Queremos mostrar
. Começamos escrevendo
Como
, podemos substituir
por
:
Pelo axioma da associatividade da adição em
,
Pela comutatividade da adição,
; como
, temos
. E
pelo papel do vetor nulo. Assim chegamos a
Portanto, o inverso aditivo é único.
Passo 4
Aplicando a definição ao caso concreto: sabemos que
é o inverso aditivo de
. Isso significa que
Pela comutatividade da adição em
, também vale
Ou seja,
é um vetor que somado a
dá
; portanto
é um inverso aditivo de
.
Passo 5
Usando a unicidade do inverso aditivo (Passo 3): como
é um inverso aditivo de
e o inverso aditivo é único, concluímos que o simétrico de
é exatamente
. Em notação:
Passo 6
Prova alternativa (útil para prática): lembrar que em espaços vetoriais
pode ser escrito como
. Então
Nos reais vale
(uma demonstração curta:
. Multiplicando por
obtemos
, daí somando
em ambos os lados dá
). Então
Isso dá a mesma conclusão
. Esta forma com escalares é prática em cálculos.
Passo 7
Resumo curto e incentivo: a prova essencial usa só a definição do inverso aditivo, a comutatividade/associatividade da adição e a unicidade do inverso; a ideia intuitiva é simples — “virar” o vetor duas vezes volta ao original. Você já consegue repetir esse raciocínio na prova!