Sendo V um espaço vetorial e u, v, w \in \mathrm{V} e \alpha e \beta \in \mathbb{R}, prove que:
O simétrico do vetor - v é o vetor v .

Passo 1

O enunciado dá que V é um espaço vetorial e que u,v,w\in V e \alpha,\beta\in\mathbb{R}.
O que se pede: provar que o simétrico (isto é, o inverso aditivo) do vetor -v é o vetor v. Em notação: mostrar que -(-v)=v.

Passo 2

Definição que vamos usar (explicada): o simétrico ou inverso aditivo de um vetor x\in V é um vetor y\in V tal que
x+y=0,
onde 0 é o vetor nulo de V. Em palavras: y é o vetor que somado a x dá o vetor nulo. Pelo axioma de espaço vetorial, para todo x\in V existe pelo menos um tal y (o inverso aditivo de x).

Passo 3

Teorema útil (e sua prova): o inverso aditivo de um vetor é único. Prova detalhada:
Suponha que y e z sejam ambos inversos aditivos de x, isto é,
x+y=0\quad\text{e}\quad x+z=0.
Queremos mostrar y=z. Começamos escrevendo
y = y+0.
Como x+z=0, podemos substituir 0 por x+z:
y = y+(x+z).
Pelo axioma da associatividade da adição em V,
y+(x+z) = (y+x)+z.
Pela comutatividade da adição, y+x = x+y; como x+y=0, temos (y+x)+z = 0+z. E 0+z=z pelo papel do vetor nulo. Assim chegamos a
y = z.
Portanto, o inverso aditivo é único.

Passo 4

Aplicando a definição ao caso concreto: sabemos que -v é o inverso aditivo de v. Isso significa que
v + (-v)=0.
Pela comutatividade da adição em V, também vale
(-v) + v = 0.
Ou seja, v é um vetor que somado a -v 0; portanto v é um inverso aditivo de -v.

Passo 5

Usando a unicidade do inverso aditivo (Passo 3): como v é um inverso aditivo de -v e o inverso aditivo é único, concluímos que o simétrico de -v é exatamente v. Em notação:
-(-v)=v.

Passo 6

Prova alternativa (útil para prática): lembrar que em espaços vetoriais -v pode ser escrito como (-1)v. Então
-(-v)=(-1)(-1)v.
Nos reais vale (-1)(-1)=1 (uma demonstração curta: 0=1+(-1). Multiplicando por -1 obtemos 0=-1+(-1)(-1), daí somando 1 em ambos os lados dá 1=(-1)(-1)). Então
(-1)(-1)v = 1\cdot v = v.
Isso dá a mesma conclusão -(-v)=v. Esta forma com escalares é prática em cálculos.

Passo 7

Resumo curto e incentivo: a prova essencial usa só a definição do inverso aditivo, a comutatividade/associatividade da adição e a unicidade do inverso; a ideia intuitiva é simples — “virar” o vetor duas vezes volta ao original. Você já consegue repetir esse raciocínio na prova!

Resposta

-(-v)=v

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