Verifique se os conjuntos abaixo são linearmente dependente ou linearmente independentes:
F=(ccc-1 & 2 & 1 3 & -2 & 4)(ccc0 & -1 & 2 -2 & 1 & 0)(lll-1 & 0 & 5 -1 & 0 & 3).

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
F = glA1,,A2,,A3gr
em que
A1 = -1 & 2 & 1 3 & -2 & 4, A2 = 0 & -1 & 2 -2 & 1 & 0, A3 = -1 & 0 & 5 -1 & 0 & 3
O espaço vetorial é o de todas as matrizes 2times3, que é isomorfo a R^6. Vamos ver se existe combinação linear não trivial
alpha A1 + beta A2 + gamma A3 = 0.

Passo 2

Escrevendo
alpha A1 + beta A2 + gamma A3 = -,alpha + 0cdotbeta - gamma & 2,alpha - beta + 0cdotgamma & alpha + 2beta + 5gamma [6pt] 3,alpha -2beta - gamma & -2,alpha + beta + 0cdotgamma & 4,alpha + 0cdotbeta +3gamma
e igualando `a matriz zero, obtemos um sistema de seis equa\c{c}~oes lineares em alpha,beta,gamma.]

Passo 3

Das entradas (1,1), (1,2) e (2,2) extraímos rapidamente:
-alpha - gamma = 0, 2alpha - beta = 0, -2alpha + beta = 0
Dessas vêm
gamma = -alpha e beta = 2alpha.

Passo 4

Substituindo em qualquer outra equação, por exemplo a da posição (2,3):
4alpha + 3gamma = 0 Longrightarrow 4alpha + 3(-alpha) = 0 Longrightarrow alpha = 0
Logo alpha=0, beta=2alpha=0 e gamma=-alpha=0. A única solução é trivial.

Resposta

Os elementos de F são linearmente independentes.

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