Verifique se os conjuntos são LIs ou LDs: S_{3}=\{x^{2}-2 x+3,2 x^{2}+x+8, x^{2}+8 x+7\}
Passo 1
O que o exercício pede: verificar se o conjunto S_{3}=\{x^{2}-2 x+3,\;2 x^{2}+x+8,\;x^{2}+8 x+7\} é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).\n
Informações dadas (listadas explicitamente):
p_{1}(x)=x^{2}-2x+3,
p_{2}(x)=2x^{2}+x+8,
p_{3}(x)=x^{2}+8x+7.
Nada mais foi fornecido — só esses três polinômios em \mathbb{P}_2 (o espaço dos polinômios de grau ≤2).
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): o que significa LI / LD para polinômios?\n
Definição: os polinômios p_{1},p_{2},p_{3} são linearmente independentes se a única solução da equação
for \alpha=\beta=\gamma=0. Se existir uma solução não trivial (alguma constante diferente de zero), então são linearmente dependentes.\n
Estratégia prática (passo a passo que vamos aplicar): escrever a combinação linear com coeficientes \alpha,\beta,\gamma e igualar ao polinômio nulo. Como dois polinômios são iguais se, e somente se, todos os coeficientes correspondentes são iguais, isso gera um sistema linear para \alpha,\beta,\gamma. Se esse sistema tiver solução não trivial, então S_{3} é LD.
Passo 3
Formulando a equação da combinação linear nula. Seja \alpha,\beta,\gamma escalares tais que
Verificação direta (para ficar seguro): calcular os coeficientes da combinação encontradaa e mostrar que dão zero.\n
Coeficiente de x^{2}: 3\cdot1 + (-2)\cdot2 + 1\cdot1 = 3 - 4 + 1 = 0.\n
Coeficiente de \(x: 3\cdot(-2) + (-2)\cdot1 + 1\cdot8 = -6 -2 +8 = 0.\n
Constante: \(3\cdot3 + (-2)\cdot8 + 1\cdot7 = 9 -16 +7 = 0.\n
Tudo confere: a combinação dá o polinômio nulo.
Passo 7
Conclusão didática e motivacional: encontramos uma combinação linear não trivial que anula os três polinômios, portanto eles são linearmente dependentes. Isso significa que um dos polinômios pode ser escrito como combinação linear dos outros (por exemplo, isolando p_{3} obtemos p_{3} = -3p_{1}+2p_{2}, ou mantendo a relação na forma mais direta que encontramos). Você pode lembrar na prova: basta montar o sistema dos coeficientes (uma técnica robusta para polinômios) e resolver; encontrar qualquer solução com algum coeficiente ≠0 já prova dependência. Vai dar tudo certo — respira, resolve passo a passo como fizemos.
Resposta
Linearmente dependente. Relação de dependência: 3(x^{2}-2x+3)-2(2x^{2}+x+8)+(x^{2}+8x+7)=0