Verifique se os conjuntos são LIs ou LDs:
S_{2}=\{(2,1),(3,2),(1,0)\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto S_{2}=\{(2,1),(3,2),(1,0)\} é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
Informações dadas: os vetores são três pares em \mathbb{R}^2: v_{1}=(2,1), v_{2}=(3,2) e v_{3}=(1,0).

Passo 2

Primeiro, vamos entender direitinho o que significa LI e LD (aquela definiçãzinha que cai em prova):
  • Dizemos que os vetores v_{1},v_{2},\dots,v_{k} são linearmente independentes se a única solução da combinação linear
c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots+c_{k}v_{k}=0
é a solução trivial c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{k}=0.
Aqui cada c_{i} é um número real (um escalar) que multiplicará o vetor v_{i}.
  • Se existir pelo menos uma solução onde nem todos os c_{i} são zero, então os vetores são linearmente dependentes.
Essa definição é essencial: a ideia prática é procurar coeficientes não todos nulos que façam a soma dar o vetor nulo.

Passo 3

Escolha do método: há dois jeitos rápidos aqui.
  1. Teorema do espaço: em \mathbb{R}^{n} qualquer conjunto com mais de n vetores é automaticamente linearmente dependente. Como temos 3 vetores em \mathbb{R}^{2}, por esse teorema o conjunto já é LD. Esse é o atalho de prova.
  2. Para ficar certinho na prova, muitas vezes é bom exibir explicitamente os coeficientes não triviais que provam a dependência. Vou fazer os dois: primeiro uso o atalho (para reconhecer rápido na prova) e depois encontro uma combinação linear explícita (para mostrar a conta passo a passo).

Passo 4

Aplicando o teorema do espaço: estamos em \mathbb{R}^{2} e temos três vetores. Como 3>2, concluímos imediatamente que S_{2} é linearmente dependente. Isso já resolve a pergunta de forma rápida.

Passo 5

Agora a conta explícita (mostrando os coeficientes). Escrevemos a condição de dependência procurando escalares c_{1},c_{2},c_{3}, não todos zero, tais que
c_{1}(2,1)+c_{2}(3,2)+c_{3}(1,0)=(0,0).
Essa igualdade de vetores equivale ao sistema de duas equações (cada componente gera uma equação):
\begin{cases} 2c_{1}+3c_{2}+c_{3}=0,\\[4pt] c_{1}+2c_{2}+0\cdot c_{3}=0. \end{cases}]

Passo 6

Vamos resolver o sistema passo a passo. Da segunda equação temos
c_{1}+2c_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad c_{1}=-2c_{2}.
Substituindo c_{1}=-2c_{2} na primeira equação:
2(-2c_{2})+3c_{2}+c_{3}=0.
Calcule o lado esquerdo:
-4c_{2}+3c_{2}+c_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad -c_{2}+c_{3}=0.
Logo
c_{3}=c_{2}.

Passo 7

Temos c_{1}=-2c_{2} e c_{3}=c_{2}. Como não queremos a solução trivial, escolhemos um valor conveniente para c_{2}, por exemplo c_{2}=1. Então
c_{1}=-2,\quad c_{2}=1,\quad c_{3}=1.
Verificação da combinação:
-2(2,1)+1(3,2)+1(1,0)=(-4,-2)+(3,2)+(1,0)=(0,0).
Portanto existe uma combinação não trivial que dá o vetor nulo, o que confirma que os vetores são linearmente dependentes.

Passo 8

Interpretação prática e dica de prova: a relação encontrada pode ser escrita de forma mais intuitiva como
v_{2}+v_{3}=2v_{1},
pois (3,2)+(1,0)=(4,2)=2(2,1). Na prova, se você enxergar uma igualdade do tipo “um vetor é combinação dos outros” já está feito — isso é exatamente dependência linear. Sempre tente reconhecer essas relações simples antes de montar o sistema.

Resposta

Linearmente dependente.

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