Verifique se os conjuntos são LIs ou LDs:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
Informações dadas: os vetores são três pares em :
,
e
.
Informações dadas: os vetores são três pares em
Passo 2
Primeiro, vamos entender direitinho o que significa LI e LD (aquela definiçãzinha que cai em prova):
- Dizemos que os vetores
são linearmente independentes se a única solução da combinação linear
é a solução trivial
.
Aqui cada é um número real (um escalar) que multiplicará o vetor
.
Aqui cada
- Se existir pelo menos uma solução onde nem todos os
são zero, então os vetores são linearmente dependentes.
Essa definição é essencial: a ideia prática é procurar coeficientes não todos nulos que façam a soma dar o vetor nulo.
Passo 3
Escolha do método: há dois jeitos rápidos aqui.
- Teorema do espaço: em
qualquer conjunto com mais de vetores é automaticamente linearmente dependente. Como temos 3 vetores em , por esse teorema o conjunto já é LD. Esse é o atalho de prova. - Para ficar certinho na prova, muitas vezes é bom exibir explicitamente os coeficientes não triviais que provam a dependência. Vou fazer os dois: primeiro uso o atalho (para reconhecer rápido na prova) e depois encontro uma combinação linear explícita (para mostrar a conta passo a passo).
Passo 4
Aplicando o teorema do espaço: estamos em
e temos três vetores. Como
, concluímos imediatamente que
é linearmente dependente. Isso já resolve a pergunta de forma rápida.
Passo 5
Agora a conta explícita (mostrando os coeficientes). Escrevemos a condição de dependência procurando escalares
, não todos zero, tais que
Essa igualdade de vetores equivale ao sistema de duas equações (cada componente gera uma equação):
Passo 6
Vamos resolver o sistema passo a passo. Da segunda equação temos
Substituindo
na primeira equação:
Calcule o lado esquerdo:
Logo
Passo 7
Temos
e
. Como não queremos a solução trivial, escolhemos um valor conveniente para
, por exemplo
. Então
Verificação da combinação:
Portanto existe uma combinação não trivial que dá o vetor nulo, o que confirma que os vetores são linearmente dependentes.
Passo 8
Interpretação prática e dica de prova: a relação encontrada pode ser escrita de forma mais intuitiva como
pois
. Na prova, se você enxergar uma igualdade do tipo “um vetor é combinação dos outros” já está feito — isso é exatamente dependência linear. Sempre tente reconhecer essas relações simples antes de montar o sistema.
Resposta
Linearmente dependente.