Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o Método da Matriz Inversa:
\left\{\begin{array}{l}5 x-2 y=4 \\\\ 3 x-y=3\end{array}\right.,

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 5x-2y=4,\\[4pt] 3x-y=3, \end{cases}
e pede para encontrar os valores de x e y. Informações relevantes fornecidas:
\text{Equações: }5x-2y=4\quad\text{e}\quad3x-y=3.çõ
Não há outras condições ocultas — queremos os valores numéricos de x e y que satisfazem ambas as equações simultaneamente.]

Passo 2

Vamos escrever o sistema na forma matricial \;A\mathbf{x}=\mathbf{b}\;, que organiza coeficientes, incógnitas e termos independentes. Definimos:
A=\begin{pmatrix}5 & -2\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Aqui A é a matriz dos coeficientes (cada linha corresponde a uma equação), \mathbf{x} é o vetor incógnita e \mathbf{b} é o vetor dos termos constantes.]

Passo 3

Ideia do Método da Matriz Inversa (aula rápida):
Se a matriz A for inversível (ou seja, tiver inversa A^{-1}), então a solução do sistema é
\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}.
Para matrizes 2\times2 a verificação de inversibilidade usa o determinante. Para
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix},
o determinante é \det(A)=ad-bc. Se \det(A)\neq0, a inversa existe e é dada por
A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
Explicando as variáveis: a,b,c,d são os elementos de A colocados linha a linha; ad-bc é o número que decide se A é invertível. A fórmula troca as entradas diagonais e troca de sinal nas off-diagonais, tudo escalado por 1/\det(A).]

Passo 4

Calcular o determinante de A. Aqui a=5, b=-2, c=3, d=-1. Então
\det(A)=ad-bc = (5)(-1)-(-2)(3).
Fazendo as contas passo a passo:
(5)(-1)=-5,\qquad (-2)(3)=-6,
portanto
\det(A)=-5-(-6)=-5+6=1.
Como \det(A)=1\neq0, a matriz A é invertível e podemos usar a fórmula do 2\times2.

Passo 5

Aplicar a fórmula da inversa para A:
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix} =\frac{1}{1}\begin{pmatrix}-1 & -(-2)\\[4pt]-3 & 5\end{pmatrix}.
Compute as entradas com cuidado:
-(-2)=2.
Logo
A^{-1}=\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]-3 & 5\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora calculamos \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}. Multiplicação de matriz por vetor: cada entrada do resultado é o produto escalar da linha correspondente de A^{-1} com o vetor \mathbf{b}. Então
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]-3 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Fazendo componente a componente:
Primeira componente (correspondente a x):
x = (-1)\cdot 4 + 2\cdot 3 = -4 + 6 = 2.
Segunda componente (correspondente a y):
y = (-3)\cdot 4 + 5\cdot 3 = -12 + 15 = 3.
Portanto \mathbf{x}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (substituir na equação original para ganhar segurança):
Substituindo em 5x-2y=4:
5\cdot 2 - 2\cdot 3 = 10 - 6 = 4 \quad\checkmark
Substituindo em 3x-y=3:
3\cdot 2 - 3 = 6 - 3 = 3 \quad\checkmark
As duas equações são satisfeitas, então a solução está correta. Você chegou até aqui — mandou bem!

Resposta

x=2
y=3

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