) Sabendo que
é um corpo mostre que
com as operações usuais é um espaço vetorial sobre o corpo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
com as operações usuais (adição e multiplicação por escalares) é um espaço vetorial sobre o corpo
.
Informações dadas e o que devemos usar explicitamente:
Informações dadas e o que devemos usar explicitamente:
- Foi-nos dito que
é um corpo (isto é, com as operações usuais é um campo). - O corpo de escalares é
(os números racionais). - As operações em
são as usuais: soma de reais e produto de um racional por um real (o produto usual, visto que ).
O objetivo: verificar todas as propriedades que definem um espaço vetorial, usando apenas as operações usuais eme as propriedades de como subcorpo de .
Passo 2
Vou primeiro lembrar, de maneira curta e clara, quais axiomas precisamos verificar para que um conjunto
com uma operação de soma e uma multiplicação por escalares (de um corpo
) seja um espaço vetorial sobre
. (Mais adiante eu aplico cada um desses itens ao caso
e
.) Os axiomas são:
-
é um grupo abeliano (fechamento, associatividade, elemento neutro , inversos aditivos, comutatividade). - Para todo
e todo vale: (compatibilidade da multiplicação por escalares), (identidade escalar), (distributividade em relação à soma de vetores), (distributividade em relação à soma de escalares).
Também é útil verificar propriedades consequentes, comoe , mas estas decorrem dos axiomas acima.
Passo 3
Verificação de que
é um grupo abeliano. Aqui estou usando as propriedades usuais dos números reais: fechamento da soma, associatividade, existência do neutro e do inverso aditivo, e comutatividade. Explico cada item:
- Fechamento: para quaisquer
, a soma usual é um número real. Logo . - Associatividade: para quaisquer
vale pela associatividade da soma em . - Elemento neutro: existe
tal que para todo . - Inverso aditivo: para cada
existe tal que . - Comutatividade: para todo
vale .
Portantoé um grupo abeliano.
Passo 4
Definição explícita da multiplicação por escalares que vamos usar: para
e
definimos o produto escalar
como o produto usual
em
. Observação importante (e frequentemente usada): como
, podemos considerar cada racional
como um número real e usar o produto usual em
.
Passo 5
Verificação do fechamento da multiplicação por escalares: para
e
temos
porque produto de um racional (visto como real) por um real é real. Assim a multiplicação por escalares está bem definida em
.
Passo 6
Verificação da compatibilidade entre multiplicação por escalares e multiplicação no corpo (
). Seja
e
. Como estamos usando o produto usual em
e a multiplicação em
é associativa, obtemos
Aqui usei que
(produto em
) é igual ao produto em
visto que
é subcampo de
.
Passo 7
Verificação da identidade escalar: seja
o elemento unidade em
(também o mesmo
em
via inclusão). Para todo
vale
pois
é a identidade multiplicativa nos reais. Logo
, como exige o axioma.
Passo 8
Verificação da distributividade da multiplicação por escalares em relação à soma de vetores: para
e
temos, usando a distributividade usual em
,
Expliquei: como
é visto como real, multiplicar pela soma de reais obedece a lei distributiva dos reais.
Passo 9
Verificação da distributividade em relação à soma de escalares: para
e
vale, novamente pela distributividade em
,
Novamente aqui usamos que
em
coincide com a soma em
visto que
.
Passo 10
Propriedades auxiliares (coisas que frequentemente precisamos conhecer na prova e que decorrem dos axiomas): para todo
e
temos
-
. Prova rápida: escrevendo e usando distributividade obtemos , subtraindo obtemos . -
. Prova similar: , daí .
Essas propriedades confirmam a intuição de que escalares nulos ou vetores nulos produzem o vetor nulo.
Passo 11
Conclusão lógica: verificamos todos os requisitos da definição de espaço vetorial:
é grupo abeliano; a multiplicação por escalares
está bem definida e satisfaz as propriedades de compatibilidade, identidade e distributividades necessárias. Assim, todas as axiomas de espaço vetorial foram satisfeitos.