4^{\underline{a}} ) Sabendo que \mathbb{R} é um corpo mostre que \mathbb{R} com as operações usuais é um espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{Q}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \mathbb{R} com as operações usuais (adição e multiplicação por escalares) é um espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{Q}.
Informações dadas e o que devemos usar explicitamente:
  • Foi-nos dito que \mathbb{R} é um corpo (isto é, \mathbb{R} com as operações usuais é um campo).
  • O corpo de escalares é \mathbb{Q} (os números racionais).
  • As operações em \mathbb{R} são as usuais: soma de reais e produto de um racional por um real (o produto usual, visto que \mathbb{Q}\subset\mathbb{R}).
    O objetivo: verificar todas as propriedades que definem um espaço vetorial, usando apenas as operações usuais em \mathbb{R} e as propriedades de \mathbb{Q} como subcorpo de \mathbb{R}.

Passo 2

Vou primeiro lembrar, de maneira curta e clara, quais axiomas precisamos verificar para que um conjunto V com uma operação de soma e uma multiplicação por escalares (de um corpo K) seja um espaço vetorial sobre K. (Mais adiante eu aplico cada um desses itens ao caso V=\mathbb{R} e K=\mathbb{Q}.) Os axiomas são:
  1. (V,+) é um grupo abeliano (fechamento, associatividade, elemento neutro 0_V, inversos aditivos, comutatividade).
  2. Para todo \lambda,\mu\in K e todo v,w\in V vale: (\lambda\mu)v=\lambda(\mu v)(compatibilidade da multiplicação por escalares), 1_K v = v(identidade escalar), \lambda(v+w)=\lambda v+\lambda w(distributividade em relação à soma de vetores), (\lambda+\mu)v=\lambda v+\mu v(distributividade em relação à soma de escalares).
    Também é útil verificar propriedades consequentes, como 0_K v = 0_V e \lambda 0_V = 0_V, mas estas decorrem dos axiomas acima.

Passo 3

Verificação de que (\mathbb{R},+) é um grupo abeliano. Aqui estou usando as propriedades usuais dos números reais: fechamento da soma, associatividade, existência do neutro e do inverso aditivo, e comutatividade. Explico cada item:
  • Fechamento: para quaisquer x,y\in\mathbb{R}, a soma usual x+y é um número real. Logo x+y\in\mathbb{R}.
  • Associatividade: para quaisquer x,y,z\in\mathbb{R} vale (x+y)+z = x+(y+z) pela associatividade da soma em \mathbb{R}.
  • Elemento neutro: existe 0\in\mathbb{R} tal que x+0=x para todo x\in\mathbb{R}.
  • Inverso aditivo: para cada x\in\mathbb{R} existe -x\in\mathbb{R} tal que x+(-x)=0.
  • Comutatividade: para todo x,y\in\mathbb{R} vale x+y=y+x.
    Portanto (\mathbb{R},+) é um grupo abeliano.

Passo 4

Definição explícita da multiplicação por escalares que vamos usar: para \lambda\in\mathbb{Q} e x\in\mathbb{R} definimos o produto escalar \lambda\cdot x como o produto usual \lambda x em \mathbb{R}. Observação importante (e frequentemente usada): como \mathbb{Q}\subset\mathbb{R}, podemos considerar cada racional \lambda como um número real e usar o produto usual em \mathbb{R}.

Passo 5

Verificação do fechamento da multiplicação por escalares: para \lambda\in\mathbb{Q} e x\in\mathbb{R} temos \lambda x\in\mathbb{R} porque produto de um racional (visto como real) por um real é real. Assim a multiplicação por escalares está bem definida em \mathbb{R}.

Passo 6

Verificação da compatibilidade entre multiplicação por escalares e multiplicação no corpo ( (\lambda\mu)x=\lambda(\mu x)). Seja \lambda,\mu\in\mathbb{Q} e x\in\mathbb{R}. Como estamos usando o produto usual em \mathbb{R} e a multiplicação em \mathbb{R} é associativa, obtemos
(\lambda\mu)x = \lambda(\mu x).
Aqui usei que \lambda\mu (produto em \mathbb{Q}) é igual ao produto em \mathbb{R} visto que \mathbb{Q} é subcampo de \mathbb{R}.

Passo 7

Verificação da identidade escalar: seja 1 o elemento unidade em \mathbb{Q} (também o mesmo 1 em \mathbb{R} via inclusão). Para todo x\in\mathbb{R} vale
1\cdot x = 1x = x,
pois 1 é a identidade multiplicativa nos reais. Logo 1_{\mathbb{Q}} x = x, como exige o axioma.

Passo 8

Verificação da distributividade da multiplicação por escalares em relação à soma de vetores: para \lambda\in\mathbb{Q} e x,y\in\mathbb{R} temos, usando a distributividade usual em \mathbb{R},
\lambda(x+y) = \lambda x + \lambda y.
Expliquei: como \lambda é visto como real, multiplicar pela soma de reais obedece a lei distributiva dos reais.

Passo 9

Verificação da distributividade em relação à soma de escalares: para \lambda,\mu\in\mathbb{Q} e x\in\mathbb{R} vale, novamente pela distributividade em \mathbb{R},
(\lambda+\mu)x = \lambda x + \mu x.
Novamente aqui usamos que \lambda+\mu em \mathbb{Q} coincide com a soma em \mathbb{R} visto que \mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.

Passo 10

Propriedades auxiliares (coisas que frequentemente precisamos conhecer na prova e que decorrem dos axiomas): para todo \lambda\in\mathbb{Q} e x\in\mathbb{R} temos
  • 0_{\mathbb{Q}}\cdot x = 0_{\mathbb{R}}. Prova rápida: escrevendo 0_{\mathbb{Q}} = 0_{\mathbb{Q}}+0_{\mathbb{Q}} e usando distributividade obtemos 0x = 0x + 0x, subtraindo 0x obtemos 0x=0.
  • \lambda\cdot 0_{\mathbb{R}} = 0_{\mathbb{R}}. Prova similar: \lambda 0 = \lambda(0+0)=\lambda 0 +\lambda 0, daí \lambda 0=0.
    Essas propriedades confirmam a intuição de que escalares nulos ou vetores nulos produzem o vetor nulo.

Passo 11

Conclusão lógica: verificamos todos os requisitos da definição de espaço vetorial: (\mathbb{R},+) é grupo abeliano; a multiplicação por escalares \mathbb{Q}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R} está bem definida e satisfaz as propriedades de compatibilidade, identidade e distributividades necessárias. Assim, todas as axiomas de espaço vetorial foram satisfeitos.

Resposta

\mathbb{R} é um espaço vetorial sobre \mathbb{Q}.

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