Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são Espaços Vetoriais, satisfazendo as operações da soma e multiplicação. Para aqueles que não são, cite um dos axiomas que não é satisfeito. Para isso, considere um escalar
da forma
, tal que
.)
Passo 1
O enunciado apresenta o conjunto
com as operações usuais de soma de vetores e multiplicação por escalar em
.
Conteúdo: espaços vetoriais e subespaços de .
Objetivo: verificar se satisfaz os axiomas de subespaço vetorial (fechamento, zero, inverso).
Conteúdo: espaços vetoriais e subespaços de
Objetivo: verificar se
Passo 2
Verificamos o fechamento em relação à soma.
Sejam
Sejam
Então
Como
é fechado sob adição, temos
(e o mesmo para as outras componentes). Logo
.
Passo 3
Verificamos o fechamento em relação à multiplicação escalar.
Para e
,
Para
Como
é fechado sob multiplicação,
. Logo
.
Passo 4
Existência do vetor zero e do inverso aditivo.
O vetor nulo em é
O vetor nulo em
Para cada
, o inverso aditivo é
Assim, há vetor zero e todo vetor tem inverso aditivo em
.
Passo 5
Como
satisfaz fechamento sob soma, fechamento sob escalar, contém o zero e inversos aditivos, os demais axiomas (associatividade, comutatividade, distributividades, etc.) são herdados das operações usuais em
.