Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são Espaços Vetoriais, satisfazendo as operações da soma e multiplicação. Para aqueles que não são, cite um dos axiomas que não é satisfeito. Para isso, considere um escalar {k / k \in \mathbb{R}\}. Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são Subespaços Vetoriais, satisfazendo as operações da soma e multiplicação. Para aqueles que não são, cite um dos axiomas que não é satisfeito. Para isso, considere um escalar \({k / k \in \mathbb{R}\}. O conjunto do vetores \(\mathbb{V} da forma (x, y, z), tal que {x, y, z\}) pertençam aos números reais, ou seja, \(\mathbb{V}=\{(x, y, z) / x, y, z \in \mathbb{R}\}.)

Passo 1

O enunciado apresenta o conjunto
\mathbb{V} = \{(x,y,z)\mid x,y,z\in\mathbb{R}\}
com as operações usuais de soma de vetores e multiplicação por escalar em \mathbb{R}^3.
Conteúdo: espaços vetoriais e subespaços de \mathbb{R}^n.
Objetivo: verificar se \mathbb{V} satisfaz os axiomas de subespaço vetorial (fechamento, zero, inverso).

Passo 2

Verificamos o fechamento em relação à soma.
Sejam
u=(x_1,y_1,z_1)\in\mathbb{V},\quad v=(x_2,y_2,z_2)\in\mathbb{V}.
Então
u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Como \mathbb{R} é fechado sob adição, temos x_1+x_2\in\mathbb{R} (e o mesmo para as outras componentes). Logo u+v\in\mathbb{V}.

Passo 3

Verificamos o fechamento em relação à multiplicação escalar.
Para k\in\mathbb{R} e u=(x,y,z)\in\mathbb{V},
k\,u = (k\,x,\;k\,y,\;k\,z).
Como \mathbb{R} é fechado sob multiplicação, k\,x,k\,y,k\,z\in\mathbb{R}. Logo k\,u\in\mathbb{V}.

Passo 4

Existência do vetor zero e do inverso aditivo.
O vetor nulo em \mathbb{R}^3 é
0 = (0,0,0)\in\mathbb{V}.
Para cada u=(x,y,z)\in\mathbb{V}, o inverso aditivo é
-\,u = (-\,x,\,-\,y,\,-\,z)\in\mathbb{V}.
Assim, há vetor zero e todo vetor tem inverso aditivo em \mathbb{V}.

Passo 5

Como \mathbb{V} satisfaz fechamento sob soma, fechamento sob escalar, contém o zero e inversos aditivos, os demais axiomas (associatividade, comutatividade, distributividades, etc.) são herdados das operações usuais em \mathbb{R}^3.

Resposta

\mathbb{V}=\{(x,y,z)\mid x,y,z\in\mathbb{R}\} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

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