Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são Espaços Vetoriais, satisfazendo as operações da soma e multiplicação. Para aqueles que não são, cite um dos axiomas que não é satisfeito. Para isso, considere um escalar
.)
Passo 1
O enunciado apresenta o conjunto
no espaço vetorial
e pede para verificar se
é um subespaço vetorial.
Para isso, precisamos checar três condições fundamentais de subespaço:
Para isso, precisamos checar três condições fundamentais de subespaço:
- O vetor zero de
pertence a . -
é fechado sob soma de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificar se o vetor zero de
pertence a
.
O vetor zero é . Como podemos escrever
O vetor zero é
segue que
.
Passo 3
Verificar o fechamento de
sob soma.
Sejam e
dois vetores em
. Então
Sejam
Como
, temos
.
Passo 4
Verificar o fechamento de
sob multiplicação por escalar.
Seja e
. Então
Seja
Como
, segue
.
Passo 5
Concluímos que
contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar. Portanto,
é um subespaço vetorial de
.