Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são Espaços Vetoriais, satisfazendo as operações da soma e multiplicação. Para aqueles que não são, cite um dos axiomas que não é satisfeito. Para isso, considere um escalar {k / k \in \mathbb{R}\}. Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são Subespaços Vetoriais, satisfazendo as operações da soma e multiplicação. Para aqueles que não são, cite um dos axiomas que não é satisfeito. Para isso, considere um escalar \({k / k \in \mathbb{R}\}. \(\mathbb{T}=\{(a, 0,0) / a, \in \mathbb{R}\}.)

Passo 1

O enunciado apresenta o conjunto
\mathbb{T} = \{(a,0,0)\mid a\in\mathbb{R}\}
no espaço vetorial \mathbb{R}^3 e pede para verificar se \mathbb{T} é um subespaço vetorial.
Para isso, precisamos checar três condições fundamentais de subespaço:
  1. O vetor zero de \mathbb{R}^3 pertence a \mathbb{T}.
  2. \mathbb{T} é fechado sob soma de vetores.
  3. \mathbb{T} é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar se o vetor zero de \mathbb{R}^3 pertence a \mathbb{T}.
O vetor zero é (0,0,0). Como podemos escrever
(0,0,0) = (a,0,0)\quad\text{com }a=0\in\mathbb{R},
segue que (0,0,0)\in\mathbb{T}.

Passo 3

Verificar o fechamento de \mathbb{T} sob soma.
Sejam u=(a,0,0) e v=(b,0,0) dois vetores em \mathbb{T}. Então
u+v = (a,0,0)+(b,0,0) = (a+b,\,0,\,0).
Como a+b\in\mathbb{R}, temos u+v\in\mathbb{T}.

Passo 4

Verificar o fechamento de \mathbb{T} sob multiplicação por escalar.
Seja k\in\mathbb{R} e u=(a,0,0)\in\mathbb{T}. Então
k\,u = k\,(a,0,0) = (k\,a,\,0,\,0).
Como k\,a\in\mathbb{R}, segue k\,u\in\mathbb{T}.

Passo 5

Concluímos que \mathbb{T} contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar. Portanto, \mathbb{T} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

Resposta

\mathbb{T} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

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