Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são Espaços Vetoriais, satisfazendo as operações da soma e multiplicação. Para aqueles que não são, cite um dos axiomas que não é satisfeito. Para isso, considere um escalar {k / k \in \mathbb{R}\}. Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são Subespaços Vetoriais, satisfazendo as operações da soma e multiplicação. Para aqueles que não são, cite um dos axiomas que não é satisfeito. Para isso, considere um escalar \({k / k \in \mathbb{R}\}. \(\mathbb{B}=\{(1,0,1)\}.)

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto B=\{(1,0,1)\}\subset\mathbb{R}^3 e pede para verificar se é subespaço vetorial. Para isso, vamos checar a presença do vetor zero, o fechamento sob soma de vetores e o fechamento sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Verificação do fechamento sob soma: o único vetor em B é (1,0,1), então
(1,0,1)+(1,0,1)=(2,0,2).
Como (2,0,2)\notin B, falha o axioma de fechamento sob soma.

Passo 3

Verificação do fechamento sob multiplicação escalar: para um escalar k\in\mathbb{R},
k\cdot(1,0,1)=(k,0,k).
Se k\neq1, então (k,0,k)\notin B, logo falha o fechamento sob multiplicação por escalares.

Passo 4

Verificação da presença do vetor zero: o vetor zero de \mathbb{R}^3 é (0,0,0), mas (0,0,0)\notin B, portanto não satisfaz o axioma de existência do elemento neutro.

Resposta

B não é subespaço de \mathbb{R}^3, pois, por exemplo, falha o axioma de fechamento sob soma:
(1,0,1)+(1,0,1)=(2,0,2)\notin B.

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