Verifique se f é contínua e derivável no ponto x0, sendo:
f(x)=clx^2+sen x & , se x>0 x^5+4 x^3 & , se x<0 0 & , se x=0 x0=0

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x^2+sen x, & x>0, x^5+4x^3, & x<0, 0, & x=0,
e pede para verificar se f é contínua e derivável em x0=0. Vamos primeiro checar continuidade usando limites laterais e depois usar a definição de derivada para analisar diferenciabilidade.

Passo 2

Cálculo dos limites laterais em x=0.
Limite pela direita:
limxto0^+f(x) =limxto0^+l(x^2+sen xr) =underbracelimxto0x^20+underbracelimxto0sen x0 =0
Limite pela esquerda:
limxto0^-f(x) =limxto0^-l(x^5+4x^3r) =underbracelimxto0x^50+4underbracelimxto0x^30 =0

Passo 3

Verificação da continuidade:
Temos
limxto0^+f(x)=0, limxto0^-f(x)=0,
e f(0)=0. Como ambos os limites laterais coincidem e valem f(0), f é contínua em x=0.

Passo 4

Cálculo da derivada lateral pela direita em x=0 usando a definição
f+'(0) =limhto0^+f(0+h)-f(0)h =limhto0^+h^2+sen h - 0h =limhto0^+l(h + sen hhr)
Como limhto0sen h/h=1 e limhto0h=0, obtemos
f+'(0)=0+1=1

Passo 5

Cálculo da derivada lateral pela esquerda em x=0:
f-'(0) =limhto0^-f(0+h)-f(0)h =limhto0^-h^5+4h^3-0h =limhto0^-l(h^4+4h^2r)
Como limhto0h^4=0 e limhto0h^2=0, segue
f-'(0)=0+0=0

Passo 6

Comparação das derivadas laterais:
f+'(0)=1neq 0=f-'(0)
Como as derivadas laterais são diferentes, f não é derivável em x=0.

Resposta

f é contínua em x0=0 e não é derivável em x0=0.

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