Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em (x, y)=(0,0), explicando o que acontece quando t infty.
ld xdt=-2 x+5 y dydt=-x-4 y

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear de EDOs com coeficientes constantes
dxdt = -2x + 5y, dydt = -x -4y,
e pede (i) a solução geral e (ii) a classificação do ponto de equilíbrio em (x,y)=(0,0). O conteúdo necessário é decomposição em autovalores e autovetores de matrizes 2times 2, e uso da parte real de soluções complexas para obter a forma real.

Passo 2

Escrevemos em forma matricial

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) = det-2-lambda & 5 -1 & -4-lambda = (,-2-lambda)(-4-lambda) - (5cdot-1) = lambda^2 +6lambda +13
As raízes são
lambda = -6pmraiz36-522 = -3 pm 2,i

Passo 4

Tomamos lambda=-3+2,i e resolvemos (A-lambda I)v=0. De
1-2i & 5 -1 & -1-2iv=0
vem, por exemplo, escolhendo segunda componente v2=1,
v = -(1+2i)1
Então uma solução complexa é
z(t)=v,e^(-3+2i)t

Passo 5

Extraindo parte real e imaginária de
onde (C_1,C_2\in\mathbb{R}].

Passo 6

Os autovalores são complexos conjugados com parte real -3<0. Isso caracteriza o ponto (0,0) como foco assintoticamente estável (ou espiral estável): todas as soluções giram em torno da origem e decaem exponencialmente, tendendo a (0,0) quando ttoinfty.

Resposta

(i) A solução geral é
x(t) = e^-3tl[C1l(-cos2t+2sin2tr)+C2l(-sin2t-2cos2tr)r], y(t) = e^-3tl[C1cos2t + C2sin2tr],
com constantes C1,C2inR.
(ii) O ponto de equilíbrio em (0,0) é um foco assintoticamente estável (espiral estável); todas as soluções giram e decaem para a origem, isto é, (x(t),y(t))to(0,0) quando ttoinfty.

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