Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em , explicando o que acontece quando .
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear de EDOs com coeficientes constantes
e pede (i) a solução geral e (ii) a classificação do ponto de equilíbrio em . O conteúdo necessário é decomposição em autovalores e autovetores de matrizes , e uso da parte real de soluções complexas para obter a forma real.
Passo 2
Escrevemos em forma matricial
Passo 3
Calculamos o polinômio característico de :
As raízes são
lambda = -6pmraiz36-522 = -3 pm 2,i
Passo 4
Tomamos lambda=-3+2,i e resolvemos (A-lambda I)v=0. De
1-2i & 5 -1 & -1-2iv=0
vem, por exemplo, escolhendo segunda componente v2=1,
v = -(1+2i)1
Então uma solução complexa é
z(t)=v,e^(-3+2i)t
Passo 5
Extraindo parte real e imaginária de
onde (C_1,C_2\in\mathbb{R}].
Passo 6
Os autovalores são complexos conjugados com parte real -3<0. Isso caracteriza o ponto (0,0) como foco assintoticamente estável (ou espiral estável): todas as soluções giram em torno da origem e decaem exponencialmente, tendendo a (0,0) quando ttoinfty.
com constantes C1,C2inR.
(ii) O ponto de equilíbrio em (0,0) é um foco assintoticamente estável (espiral estável); todas as soluções giram e decaem para a origem, isto é, (x(t),y(t))to(0,0) quando ttoinfty.