Verifique se as séries são convergentes ou divergentes através do Teste da Raiz. Se o teste for inconclusivo, diga isso.
sumn=1^infty n^22^n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^inftyn^22^n
usando o Teste da Raiz. Vamos lembrar que, para uma série de termos an, o Teste da Raiz consiste em calcular
L = limsupntoinftyraiz[n]lvert anrvert
e concluir que a série converge se L<1, diverge se L>1 e o teste é inconclusivo se L=1.

Passo 2

Aqui an = n^22^n. Vamos calcular
raiz[n]l|anr| = raiz[n]n^22^n = (n^2)^1/n2 = n^2/n2
Note que
n^2/n = e^2ln nn
e como ln nnto0 quando ntoinfty, temos n^2/nto e^0=1.

Passo 3

Portanto
L = limntoinftyn^2/n2 = 12
Como L=tfrac12<1, o Teste da Raiz garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^inftydfracn^22^n converge (convergência absoluta pelo Teste da Raiz).

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