Verifique a continuidade das funções abaixo
7) f(x, y)= x^2 yx^4+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função de duas variáveis
f(x,y)= x^2yx^4+y^2,&(x,y)neq(0,0) 0,&(x,y)=(0,0)
Conteúdo: continuidade de funções de várias variáveis. Vamos usar definição de continuidade: f é contínua em um ponto (a,b) se lim(x,y)to(a,b)f(x,y)=f(a,b).

Passo 2

A função é racional em qualquer ponto (x,y)neq(0,0). Como numerador e denominador são polinômios e o denominador não se anula, f é composição de funções contínuas ali. Logo, f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Agora resta apenas checar a continuidade em (0,0). Precisamos ver se lim(x,y)to(0,0)f(x,y) existe e vale 0.

Passo 4

Escolhemos a família de retas curvas dadas por y=kx^2, com constante real k. Substituindo no numerador e denominador:
f(x,kx^2)=x^2(kx^2)x^4+(kx^2)^2=kx^4x^4+k^2x^4=k1+k^2

Passo 5

Note que ao fazermos (x,y)to(0,0) seguindo y=kx^2, o valor de f tende a k/(1+k^2), que depende de k. Como diferentes k dão limites diferentes, o limite geral não existe.

Passo 6

Como o limite não existe (logo não é igual a f(0,0)=0), f é descontínua em (0,0).

Resposta

f é contínua em todos os pontos (x,y)neq(0,0) e descontínua em (0,0).

Exercícios relacionados