Verifique a continuidade das funções abaixo
4) f(x, y)= x^3 yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 1 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função de duas variáveis f: R^2to R dada por\n f(x,y)=x^3yx^2+y^2&se (x,y)neq(0,0)1&se (x,y)=(0,0)\nO conteúdo é continuidade de funções de várias variáveis; vamos precisar usar propriedades de limites e coordenadas polares.

Passo 2

Para qualquer ponto (x,y)neq(0,0), o denominador x^2+y^2 é não nulo e a função é quociente de polinômios. Logo, por ser composta de operações algébricas contínuas, f é contínua em todo (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Para analisar (0,0), calculamos o limite L=lim(x,y)to(0,0)x^3yx^2+y^2. Usamos coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta e rto0^+. Substituindo,\n x^3yx^2+y^2=(rcostheta)^3,(rsintheta)r^2=r^2cos^3theta,sintheta

Passo 4

Como |r^2cos^3thetasintheta|<= r^2 e r^2to0, segue que L=0.

Passo 5

No ponto (0,0), f(0,0)=1, mas o limite vale 0. Como lim(x,y)to(0,0)f(x,y)neq f(0,0), a função não é contínua em (0,0).

Resposta

A função é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0) e descontínua em (0,0).

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