Para as funções nos exercícios 1. a 5., determine (se existir) o que se pede a seguir:
(a) A derivada
.
(b) Os pontos críticos de
.
© Os intervalos em que
é crescente ou decrescente.
(d) Os pontos de máximo e os pontos de mínimo locais de
.
.
(a) A derivada
(b) Os pontos críticos de
© Os intervalos em que
(d) Os pontos de máximo e os pontos de mínimo locais de
Passo 1
A função em questão é
. Vamos usar derivada para analisar pontos críticos e monotonia, aplicando a regra do quociente e estudando o sinal de
.
Passo 2
Para derivar
usamos a regra do quociente:
Aqui
e
, logo
e
. Substituindo:
Passo 3
Pontos críticos são onde
ou
não existe, mas dentro do domínio. Para
teríamos
o que não ocorre pois
. A derivada não existe em
, mas
não está no domínio de
. Logo, não há pontos críticos.
Passo 4
Para estudar monotonia, olhamos o sinal de
. O denominador é sempre positivo (quadrado de algo) e o numerador é
. Portanto
para todo
. Isso significa que
é crescente em cada parte do domínio: nos intervalos
e
. Não há intervalos de decrescimento.
Passo 5
Como não há troca de sinal de
em nenhum ponto do domínio, não existem pontos de máximo ou de mínimo locais para
.
Resposta
f’(x)=2/(2-x)^2; não há pontos críticos; f é crescente em (-∞,2) e (2,∞); não há máximos nem mínimos locais.