Para as funções nos exercícios 1. a 5., determine (se existir) o que se pede a seguir:
(a) A derivada f^prime(x).
(b) Os pontos críticos de f.
© Os intervalos em que f é crescente ou decrescente.
(d) Os pontos de máximo e os pontos de mínimo locais de f.
f(x)=x2-x.

Passo 1

A função em questão é f(x)=x2-x. Vamos usar derivada para analisar pontos críticos e monotonia, aplicando a regra do quociente e estudando o sinal de f'(x).

Passo 2

Para derivar f(x)=u(x)v(x) usamos a regra do quociente: f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2 Aqui u(x)=x e v(x)=2-x, logo u'(x)=1 e v'(x)=-1. Substituindo: f'(x)=1cdot(2-x)-xcdot(-1)(2-x)^2=2-x+x(2-x)^2=2(2-x)^2

Passo 3

Pontos críticos são onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe, mas dentro do domínio. Para f'(x)=0 teríamos 2(2-x)^2=0,o que não ocorre pois 2neq0. A derivada não existe em x=2, mas x=2 não está no domínio de f. Logo, não há pontos críticos.

Passo 4

Para estudar monotonia, olhamos o sinal de f'(x)=tfrac2(2-x)^2. O denominador é sempre positivo (quadrado de algo) e o numerador é +2. Portanto f'(x)>0 para todo xneq2. Isso significa que f é crescente em cada parte do domínio: nos intervalos (-infty,2) e (2,infty). Não há intervalos de decrescimento.

Passo 5

Como não há troca de sinal de f'(x) em nenhum ponto do domínio, não existem pontos de máximo ou de mínimo locais para f.

Resposta

f’(x)=2/(2-x)^2; não há pontos críticos; f é crescente em (-∞,2) e (2,∞); não há máximos nem mínimos locais.

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