Verifique a continuidade das funções abaixo no ponto 
 .
 
Passo 1
Então, a gente tem uma função 
  que muda de expressão dependendo se 
  é igual a 
  ou não. O objetivo aqui é ver se essa função é contínua no ponto 
 . Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar isso usando limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, para 
  ser contínua em 
 , o limite de 
  quando 
  se aproxima de 
  precisa ser igual ao valor de 
 . No nosso caso, 
 .
Passo 3
Então, precisamos calcular o limite de 
  quando 
  se aproxima de 
 . Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde 
  e 
 . Isso ajuda a simplificar a expressão e ver como o limite se comporta conforme 
  tende a zero.
Passo 4
Substituindo 
  e 
  por 
  e 
 , a função fica:
Simplificando, temos:
Podemos cancelar 
  no numerador e denominador:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite quando 
  tende a zero. Note que 
  tende a 
  quando 
  tende a zero. Então, o limite da função fica:
Observamos que esse limite depende do ângulo 
 , ou seja, pode variar dependendo do caminho que a gente escolhe para se aproximar de 
 .
Passo 6
Para a função ser contínua em 
 , o limite deve ser o mesmo independente do caminho escolhido. Vamos verificar dois caminhos diferentes:
- Caminho ao longo do eixo 
(quando ):  
- Caminho ao longo da reta 
(quando ):  
Resposta
Como o limite depende do caminho e não é único, a função 
  não é contínua no ponto 
 .