Verifique a continuidade das seguintes funções nos pontos indicados:
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} em (0,0).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
e pede para verificar se ela é contínua no ponto (0,0).
Para isso, precisamos mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0).

Passo 2

Calculamos o valor de f em (0,0). Substituindo x=0 e y=0,
f(0,0)=\sqrt{0^{2}+0^{2}}=0.

Passo 3

Queremos provar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\sqrt{x^{2}+y^{2}}=0.
Note que \sqrt{x^{2}+y^{2}} é justamente a distância euclidiana do ponto (x,y) à origem.

Passo 4

Aplicando a definição \varepsilon \delta: seja \varepsilon>0. Basta escolher
\delta=\varepsilon.
Então, sempre que
\sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}<\delta
isto é,
\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\varepsilon,
concluímos que |f(x,y)-0|<\varepsilon. Logo o limite é zero.

Passo 5

Como
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0 = f(0,0),
pela definição, f é contínua em (0,0).

Resposta

A função f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} é contínua no ponto (0,0).

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