Verifique a continuidade das seguintes funções nos pontos indicados: f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array} \quad\right. em \quad(0,0). Passo 1O enunciado pede para verificar se a função f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x\,y}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases} é contínua no ponto (0,0). O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis e a definição de continuidade. Passo 2Recordando a definição, f é contínua em (0,0) se, e somente se, \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0). Neste caso temos f(0,0)=0. Passo 3Calculamos diretamente o valor de f no ponto: f(0,0)=0. Passo 4Examinamos o limite ao longo da reta y=x. Para x\neq0, f(x,x)=\frac{x\cdot x}{x^{2}+x^{2}} =\frac{x^{2}}{2x^{2}} =\frac12. Portanto \lim_{x\to0}f(x,x)=\frac12. Passo 5Examinamos o limite ao longo da reta y=0. Para x\neq0, f(x,0)=\frac{x\cdot0}{x^{2}+0} =0. Logo \lim_{x\to0}f(x,0)=0. Passo 6Os limites por esses dois caminhos são diferentes ( \tfrac12 e 0), logo \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) não existe. Como não coincide com f(0,0), a função não é contínua em (0,0). RespostaA função não é contínua em (0,0). MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosVerifique a continuidade das seguintes funções nos pontos indicados: f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array} \quad\right. em \quad(0,0). Verifique a continuidade das seguintes funções nos pontos indicados: f(x, y)=3 x^{2} y-x y^{3}+2 em (1,2). Verifique a continuidade das seguintes funções nos pontos indicados: f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} em (0,0). Verifique a continuidade das seguintes funções nos pontos indicados: f(x, y)=e^{x / y} \quad em \quad(1,1) e (0,0).