Verifique a continuidade das seguintes funções nos pontos indicados:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array} \quad\right. em \quad(0,0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x\,y}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
é contínua no ponto (0,0). O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis e a definição de continuidade.

Passo 2

Recordando a definição, f é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0).
Neste caso temos f(0,0)=0.

Passo 3

Calculamos diretamente o valor de f no ponto:
f(0,0)=0.

Passo 4

Examinamos o limite ao longo da reta y=x. Para x\neq0,
f(x,x)=\frac{x\cdot x}{x^{2}+x^{2}} =\frac{x^{2}}{2x^{2}} =\frac12.
Portanto
\lim_{x\to0}f(x,x)=\frac12.

Passo 5

Examinamos o limite ao longo da reta y=0. Para x\neq0,
f(x,0)=\frac{x\cdot0}{x^{2}+0} =0.
Logo
\lim_{x\to0}f(x,0)=0.

Passo 6

Os limites por esses dois caminhos são diferentes ( \tfrac12 e 0), logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
não existe. Como não coincide com f(0,0), a função não é contínua em (0,0).

Resposta

A função não é contínua em (0,0).

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