Verifique a convergência (ou não) das seguíntes séries:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^{2}+2 k+1}{(k+4)^{k}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência (ou não) da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^{2}+2k+1}{(k+4)^{k}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{termo geral } a_k=\frac{k^{2}+2k+1}{(k+4)^{k}}.
A pergunta é única: determinar se a série converge ou diverge. Não há outras condições ou parâmetros.

Passo 2

Vou escolher um teste adequado. Observando a_k, no numerador temos um polinômio em k e no denominador temos (k+4)^{k}, que é uma potência com expoente igual ao índice k. Quando aparece algo elevado a k, o teste da raiz (teste de Cauchy) costuma ser muito eficiente porque envolve justamente a raiz k-ésima de a_k. Então vou aplicar o teste da raiz.

Passo 3

Enunciado do teste da raiz (explicado): para uma série \sum a_k (com a_k reais ou complexos), definimos
L=\limsup_{k\to\infty} \sqrt[k]{|a_k|}.
  • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui é bastante provável que o limite \lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|} exista, então posso trabalhar com limite em vez de \limsup.

Passo 4

Calculo a k-ésima raiz do termo geral. Como a_k>0 para todo k, posso omitir o valor absoluto:
\sqrt[k]{a_k}=\sqrt[k]{\frac{k^{2}+2k+1}{(k+4)^{k}}} =\frac{(k^{2}+2k+1)^{1/k}}{k+4}.

Passo 5

Agora preciso calcular o limite quando k\to\infty de (k^{2}+2k+1)^{1/k}. Vou mostrar um lema útil e simples: se p(k) é um polinômio em k (por exemplo de grau m), então
\lim_{k\to\infty} p(k)^{1/k}=1.
Demonstração rápida e didática: escrevo p(k)^{1/k}=e^{\frac{1}{k}\ln p(k)}. Para um polinômio de grau m tem-se \ln p(k)\sim m\ln k quando k\to\infty, isto é, \ln p(k) cresce como \ln k. Portanto
\frac{1}{k}\ln p(k)\xrightarrow[k\to\infty]{}0,
pois \ln k cresce muito mais devagar que k. Logo e^{\frac{1}{k}\ln p(k)}\to e^{0}=1. Aplicando isso ao nosso numerador k^{2}+2k+1 (polinômio de grau 2) obtemos
\lim_{k\to\infty}(k^{2}+2k+1)^{1/k}=1.
(Se quiser ver numericamente: para k=10 temos (10^2+20+1)^{1/10}\approx 1,58^{1/10}\approx1,05; já para k=100 o valor está muito mais próximo de 1.)

Passo 6

Usando o resultado do passo anterior, calculo o limite da raiz:
\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k} =\lim_{k\to\infty}\frac{(k^{2}+2k+1)^{1/k}}{k+4} =\frac{1}{\lim_{k\to\infty}(k+4)}=0.
Aqui usei que (k^{2}+2k+1)^{1/k}\to1 e que k+4\to\infty, portanto a razão tende a 0.

Passo 7

Pelo teste da raiz, como o limite L=\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k}=0 e 0<1, concluímos que a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^{2}+2k+1}{(k+4)^{k}}
converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência.

Resposta

Converge absolutamente (logo converge).

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