Verifique a convergência (ou não) das seguíntes séries:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k} k!}{k^{k}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência (ou não) da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k} k!}{k^{k}}.
Informações relevantes dadas: o termo geral é a_{k}=\dfrac{2^{k} k!}{k^{k}}. A tarefa é dizer se a soma dos a_{k} converge ou diverge. Não há outras informações fornecidas.

Passo 2

Decidimos qual teste usar. Uma boa escolha para termos com potências em k e fatoriais é o teste da raiz (ou teste da raiz de Cauchy), que usa a raiz enésima do módulo do termo geral. Vou aplicar esse teste porque ele reduz o problema a calcular o limite da enésima raiz de a_k, e esse limite aqui pode ser obtido de forma direta usando um limite conhecido sobre k!.

Passo 3

Enunciado do teste da raiz (versão usada): se
L=\limsup_{k\to\infty} \sqrt[k]{|a_k|}
então
  • se L<1, a série \sum a_k converge absolutamente;
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.
Vou calcular \sqrt[k]{a_k} e seu limite.

Passo 4

Calculemos a enésima raiz do termo geral:
\sqrt[k]{a_k}=\sqrt[k]{\frac{2^{k} k!}{k^{k}}} = \frac{2\;\sqrt[k]{k!}}{k}.
Então precisamos estudar o comportamento de \sqrt[k]{k!} quando k\to\infty. Em particular interessa o limite
\lim_{k\to\infty}\frac{\sqrt[k]{k!}}{k}.

Passo 5

Vamos calcular \lim_{k\to\infty}\dfrac{\sqrt[k]{k!}}{k} usando logaritmos e uma aproximação por soma de Riemann (uma forma elementar de derivar o fator e^{-1} sem recorrer diretamente à fórmula completa de Stirling).
Considere
\ln(k!)=\sum_{j=1}^{k}\ln j.
Dividindo por k obtemos
\frac{1}{k}\ln(k!)=\frac{1}{k}\sum_{j=1}^{k}\ln j.
Reescrevendo cada termo como \ln j=\ln\big(k\cdot\frac{j}{k}\big)=\ln k + \ln\big(\tfrac{j}{k}\big), temos
\frac{1}{k}\ln(k!)=\ln k + \frac{1}{k}\sum_{j=1}^{k}\ln\!\left(\frac{j}{k}\right).
O termo \dfrac{1}{k}\sum_{j=1}^{k}\ln\!\left(\dfrac{j}{k}\right) é uma soma de Riemann para a integral de \ln x em [0,1] (usando os pontos x_j=\tfrac{j}{k}). Como \ln x é integrável em (0,1] e a soma aproxima a integral, temos
\lim_{k\to\infty}\frac{1}{k}\sum_{j=1}^{k}\ln\!\left(\frac{j}{k}\right)=\int_{0}^{1}\ln x\,dx.
Calculemos a integral (é imprópria no zero, mas convergente):
\int_{0}^{1}\ln x\,dx=\big[x\ln x - x\big]_{0}^{1}=(1\cdot\ln 1 -1)-\lim_{x\to0^+}(x\ln x - x)= -1.
Logo
\lim_{k\to\infty}\frac{1}{k}\ln(k!)=\ln k -1 + o(1).
Isto significa, exponenciando, que
\sqrt[k]{k!}=e^{\frac{1}{k}\ln(k!)}\sim e^{\ln k -1}=k\,e^{-1}.
Assim obtemos o limite desejado:
\lim_{k\to\infty}\frac{\sqrt[k]{k!}}{k}=\frac{1}{e}.
Observação rápida (intuitiva): esse resultado é consistente com a fórmula de Stirling k!\sim k^{k}e^{-k}\sqrt{2\pi k}, da qual também se deduz \sqrt[k]{k!}\sim k/e.

Passo 6

Retornando à expressão de \sqrt[k]{a_k}, usando o resultado do passo anterior:
\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k} = \lim_{k\to\infty}\frac{2\,\sqrt[k]{k!}}{k} = 2\cdot\lim_{k\to\infty}\frac{\sqrt[k]{k!}}{k} = 2\cdot\frac{1}{e}=\frac{2}{e}.
Numérico: \dfrac{2}{e}\approx 0{,}736 <1.

Passo 7

Pelo teste da raiz, como \limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k}=\dfrac{2}{e}<1, a série \sum_{k=1}^{\infty}a_k converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência simples da série.

Resposta

A série converge absolutamente.

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