Verifique a convergência (ou não) das seguíntes séries:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência (ou não) da série
Informações relevantes dadas: o termo geral é
. A tarefa é dizer se a soma dos
converge ou diverge. Não há outras informações fornecidas.
Passo 2
Decidimos qual teste usar. Uma boa escolha para termos com potências em
e fatoriais é o teste da raiz (ou teste da raiz de Cauchy), que usa a raiz enésima do módulo do termo geral. Vou aplicar esse teste porque ele reduz o problema a calcular o limite da enésima raiz de
, e esse limite aqui pode ser obtido de forma direta usando um limite conhecido sobre
.
Passo 3
Enunciado do teste da raiz (versão usada): se
então
- se
, a série converge absolutamente; - se
, a série diverge; - se
, o teste é inconclusivo.
Vou calcular
e seu limite.
Passo 4
Calculemos a enésima raiz do termo geral:
Então precisamos estudar o comportamento de
quando
. Em particular interessa o limite
Passo 5
Vamos calcular
usando logaritmos e uma aproximação por soma de Riemann (uma forma elementar de derivar o fator
sem recorrer diretamente à fórmula completa de Stirling).
Considere
Dividindo por
obtemos
Reescrevendo cada termo como
, temos
O termo
é uma soma de Riemann para a integral de
em
(usando os pontos
). Como
é integrável em
e a soma aproxima a integral, temos
Calculemos a integral (é imprópria no zero, mas convergente):
Logo
Isto significa, exponenciando, que
Assim obtemos o limite desejado:
Observação rápida (intuitiva): esse resultado é consistente com a fórmula de Stirling
, da qual também se deduz
.
Passo 6
Retornando à expressão de
, usando o resultado do passo anterior:
Numérico:
.
Passo 7
Pelo teste da raiz, como
, a série
converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência simples da série.
Resposta
A série converge absolutamente.