Verifique a convergência (ou não) das seguíntes séries:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{4 k+7}{(k+4)^{k}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{4k+7}{(k+4)^{k}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O termo geral é a_k=\dfrac{4k+7}{(k+4)^{k}}.
  • Para todo k\ge 1 temos a_k>0 (numerador e denominador positivos).
  • A pergunta é: a série converge ou diverge? (Se converge, quero saber se converge absolutamente ou condicionalmente.)

Passo 2

Vamos usar um teste que é muito prático quando o expoente do índice aparece no denominador: o teste da raiz (teste de Cauchy). Vou explicar o que ele diz de forma simples: seja uma série com termos a_k. Defina
L=\limsup_{k\to\infty} \sqrt[k]{|a_k|}.
As conclusões são:
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui os termos são não negativos, então |a_k|=a_k. Nosso objetivo é calcular \displaystyle \lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{a_k}.

Passo 3

Calcule a k-ésima raiz do termo geral:
\sqrt[k]{a_k}=\sqrt[k]{\frac{4k+7}{(k+4)^{k}}}=\frac{(4k+7)^{1/k}}{k+4}.
Agora vamos analisar o comportamento de cada fator quando k\to\infty.

Passo 4

Primeiro, mostro que \displaystyle \lim_{k\to\infty} (4k+7)^{1/k}=1. Para ver isso, tome logaritmo e use uma propriedade básica:
\ln\bigl((4k+7)^{1/k}\bigr)=\frac{\ln(4k+7)}{k}.
Mas \displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{\ln(4k+7)}{k}=0 porque o logaritmo cresce muito mais devagar que k (mais formalmente, \ln k / k \to 0). Portanto
\lim_{k\to\infty} (4k+7)^{1/k}=e^{0}=1.

Passo 5

Voltando à expressão da raiz,
\sqrt[k]{a_k}=\frac{(4k+7)^{1/k}}{k+4}.
Já vimos que o numerador tende a 1 e o denominador k+4 tende a +\infty, logo
\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k}= \lim_{k\to\infty}\frac{(4k+7)^{1/k}}{k+4}=0.
Assim o valor L do teste da raiz é 0, que é estritamente menor que 1.

Passo 6

Como pelo teste da raiz temos L=0<1, a série converge absolutamente. Para séries com termos positivos, “convergência absoluta” implica convergência (simplesmente: converge mesmo). Intuitivamente, o denominador (k+4)^k cresce extremamente rápido (muito mais rápido que qualquer polinômio do numerador), o que faz os termos irem a zero “exponencialmente” rápido e a soma ser finita.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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