Verifique a convergência (ou não) das seguíntes séries:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O termo geral é
. - Para todo
temos (numerador e denominador positivos). - A pergunta é: a série converge ou diverge? (Se converge, quero saber se converge absolutamente ou condicionalmente.)
Passo 2
Vamos usar um teste que é muito prático quando o expoente do índice aparece no denominador: o teste da raiz (teste de Cauchy). Vou explicar o que ele diz de forma simples: seja uma série com termos
. Defina
As conclusões são:
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aqui os termos são não negativos, então
. Nosso objetivo é calcular
.
Passo 3
Calcule a
-ésima raiz do termo geral:
Agora vamos analisar o comportamento de cada fator quando
.
Passo 4
Primeiro, mostro que
. Para ver isso, tome logaritmo e use uma propriedade básica:
Mas
porque o logaritmo cresce muito mais devagar que
(mais formalmente,
). Portanto
Passo 5
Voltando à expressão da raiz,
Já vimos que o numerador tende a
e o denominador
tende a
, logo
Assim o valor
do teste da raiz é
, que é estritamente menor que
.
Passo 6
Como pelo teste da raiz temos
, a série converge absolutamente. Para séries com termos positivos, “convergência absoluta” implica convergência (simplesmente: converge mesmo). Intuitivamente, o denominador
cresce extremamente rápido (muito mais rápido que qualquer polinômio do numerador), o que faz os termos irem a zero “exponencialmente” rápido e a soma ser finita.
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge).