Verifique a convergência (ou não) das seguíntes séries:
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{k+1}{5 k}\right)^{k+1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{k+1}{5k}\right)^{k+1}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O termo geral é \displaystyle a_k=\left(\frac{k+1}{5k}\right)^{k+1}.
  • Todos os termos são positivos para k\ge1, ou seja, a_k>0.
  • A pergunta é única: determinar se a série converge ou diverge (e, se convergir, dizer que converge absolutamente, se for o caso).

Passo 2

Escolha do método: quando o termo geral tem uma expressão elevada a uma potência que cresce com k (aqui o expoente é k+1), o teste da raiz (ou teste da n-ésima raiz) costuma ser o mais direto e simples. Vou explicar o teste da raiz e aplicá‑lo ao nosso caso. Também apresentarei, como verificação alternativa, uma comparação por limite com uma série geométrica, porque é uma ideia intuitiva útil na prova.

Passo 3

Enunciado do teste da raiz (explicado com calma):
  • Seja \displaystyle\sum a_k uma série com a_k\ge0.
  • Defina
L=\limsup_{k\to\infty} \sqrt[k]{a_k}=\limsup_{k\to\infty} (a_k)^{1/k}.
  • Regras do teste:
    • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
    • Se L>1, a série diverge.
    • Se L=1, o teste é inconclusivo.
      Explicando as peças: \sqrt[k]{a_k} significa a raiz k-ésima de a_k; o \limsup é o limite superior das subsequências mas, quando o limite simples existir, ele coincide com o \limsup.

Passo 4

Aplicando o teste da raiz ao nosso termo \displaystyle a_k=\left(\frac{k+1}{5k}\right)^{k+1}.
Primeiro, calculemos (a_k)^{1/k}:
(a_k)^{1/k}=\left(\left(\frac{k+1}{5k}\right)^{k+1}\right)^{1/k} =\left(\frac{k+1}{5k}\right)^{\frac{k+1}{k}} =\left(\frac{1+\tfrac{1}{k}}{5}\right)^{1+\tfrac{1}{k}}.
Agora tomamos o limite quando k\to\infty. Note que \displaystyle 1+\tfrac{1}{k}\to1 quando k\to\infty. Assim a base \displaystyle \frac{1+\tfrac{1}{k}}{5} tende a \displaystyle \frac{1}{5} e o expoente 1+\tfrac{1}{k} tende a 1. Portanto
\lim_{k\to\infty} (a_k)^{1/k} =\left(\frac{1}{5}\right)^{1} =\frac{1}{5}.
Como o limite existe, o \limsup vale o mesmo, então L=\dfrac{1}{5}.

Passo 5

Conclusão pelo teste da raiz:
  • Como L=\dfrac{1}{5}<1, a série \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_k converge absolutamente. Logo a série converge.
Verificação alternativa (opcional, para ganhar intuição): escrevemos
a_k=\left(\frac{k+1}{5k}\right)^{k+1}=(1/5)^{k+1}\,(1+1/k)^{k+1}.
Compare com a série geométrica \sum (1/5)^k, que sabemos convergir porque a razão 1/5 tem valor absoluto menor que 1. Observe que
\frac{a_k}{(1/5)^k}=(1/5)\,(1+1/k)^{k+1}.
Tomando limite,
\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{(1/5)^k}=\frac{1}{5}\cdot\lim_{k\to\infty}(1+1/k)^{k+1}=\frac{1}{5}\cdot e.
Esse limite é finito e não nulo, portanto pela comparação por limite (teste da comparação limite), a série \sum a_k tem a mesma natureza da série geométrica \sum (1/5)^k. Como a geométrica converge, nossa série também converge. Isso confirma o resultado do teste da raiz.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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