Verifique a convergência (ou não) das seguíntes séries:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
Informações dadas e observações imediatas:
- O termo geral é
. - Todos os termos são positivos para
, ou seja, . - A pergunta é única: determinar se a série converge ou diverge (e, se convergir, dizer que converge absolutamente, se for o caso).
Passo 2
Escolha do método: quando o termo geral tem uma expressão elevada a uma potência que cresce com
(aqui o expoente é
), o teste da raiz (ou teste da
-ésima raiz) costuma ser o mais direto e simples. Vou explicar o teste da raiz e aplicá‑lo ao nosso caso. Também apresentarei, como verificação alternativa, uma comparação por limite com uma série geométrica, porque é uma ideia intuitiva útil na prova.
Passo 3
Enunciado do teste da raiz (explicado com calma):
- Seja
uma série com . - Defina
- Regras do teste:
- Se
, a série converge absolutamente (logo converge). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Explicando as peças:significa a raiz -ésima de ; o é o limite superior das subsequências mas, quando o limite simples existir, ele coincide com o .
- Se
Passo 4
Aplicando o teste da raiz ao nosso termo
.
Primeiro, calculemos
:
Agora tomamos o limite quando
. Note que
quando
. Assim a base
tende a
e o expoente
tende a
. Portanto
Como o limite existe, o
vale o mesmo, então
.
Passo 5
Conclusão pelo teste da raiz:
- Como
, a série converge absolutamente. Logo a série converge.
Verificação alternativa (opcional, para ganhar intuição): escrevemos
Compare com a série geométrica
, que sabemos convergir porque a razão
tem valor absoluto menor que
. Observe que
Tomando limite,
Esse limite é finito e não nulo, portanto pela comparação por limite (teste da comparação limite), a série
tem a mesma natureza da série geométrica
. Como a geométrica converge, nossa série também converge. Isso confirma o resultado do teste da raiz.
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge).