Verifique a convergência (ou não) das seguíntes séries:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge. Informação relevante dada: o termo geral é
que é positivo para todo
. A pergunta é: a soma dos
(para
) converge?
Passo 2
Regra fundamental que vamos usar (explicada como um amigo que te apoia): um requisito necessário para que uma série de termos
convergente exista é que os termos individuais tendam a zero quando
. Em forma matemática:
Isto é só uma condição necessária (não suficiente): se os termos não vão a zero, a série com certeza diverge. Então o passo mais simples é estudar o comportamento de
quando
.
Passo 3
Vamos analisar
com
Uma maneira direta e elementar é observar que, a partir de um certo índice, a base
já é pelo menos
. De fato, se
então
e
Para esses
temos
Como se sabe,
quando
. Portanto, para
os termos
já crescem pelo menos tão rápido quanto
, o que implica
Em palavras: os termos não só não tendem a zero, como crescem sem limite.
(Comentário didático adicional rápido: outra forma de ver isso seria tomar logaritmo e usar que
, mas a desigualdade acima é mais direta para uma prova elementar.)
Passo 4
Aplicando a condição necessária do Passo 2: como
, a série não pode convergir. Pelo teste do termo geral (também chamado de teste da n-ésima parcela): se os termos não tendem a zero, a série diverge.
Passo 5
Resposta final: a série diverge. (Não há necessidade de testes mais sofisticados porque o termo geral já impede convergência.)
Resposta
A série diverge.