Verifique a convergência (ou não) das seguíntes séries:
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{k+1}{5}\right)^{k}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{k+1}{5}\right)^{k}
converge ou diverge. Informação relevante dada: o termo geral é
a_{k}=\left(\frac{k+1}{5}\right)^{k},
que é positivo para todo k\ge 1. A pergunta é: a soma dos a_k (para k=1,2,\dots) converge?

Passo 2

Regra fundamental que vamos usar (explicada como um amigo que te apoia): um requisito necessário para que uma série de termos a_k convergente exista é que os termos individuais tendam a zero quando k\to\infty. Em forma matemática:
\text{Se }\sum_{k=1}^{\infty} a_k \text{ converge, então } \lim_{k\to\infty} a_k = 0.ã
Isto é só uma condição necessária (não suficiente): se os termos não vão a zero, a série com certeza diverge. Então o passo mais simples é estudar o comportamento de a_k quando k\to\infty.

Passo 3

Vamos analisar \lim_{k\to\infty} a_k com
a_{k}=\left(\frac{k+1}{5}\right)^{k}.
Uma maneira direta e elementar é observar que, a partir de um certo índice, a base \frac{k+1}{5} já é pelo menos 2. De fato, se k\ge 9 então k+1\ge 10 e
\frac{k+1}{5}\ge \frac{10}{5}=2.
Para esses k temos
a_k=\left(\frac{k+1}{5}\right)^{k}\ge 2^{k}.
Como se sabe, 2^{k}\to\infty quando k\to\infty. Portanto, para k\ge 9 os termos a_k já crescem pelo menos tão rápido quanto 2^k, o que implica
\lim_{k\to\infty} a_k = +\infty.
Em palavras: os termos não só não tendem a zero, como crescem sem limite.
(Comentário didático adicional rápido: outra forma de ver isso seria tomar logaritmo e usar que k\ln\big(\tfrac{k+1}{5}\big)\to\infty, mas a desigualdade acima é mais direta para uma prova elementar.)

Passo 4

Aplicando a condição necessária do Passo 2: como \lim_{k\to\infty} a_k = +\infty \neq 0, a série não pode convergir. Pelo teste do termo geral (também chamado de teste da n-ésima parcela): se os termos não tendem a zero, a série diverge.

Passo 5

Resposta final: a série diverge. (Não há necessidade de testes mais sofisticados porque o termo geral já impede convergência.)

Resposta

A série diverge.

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