Verifique a convergência (ou não) das seguíntes séries:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}} converge ou diverge.
Informações dadas e úteis: os termos gerais são positivos e iguais a \displaystyle a_k=\frac{1}{\sqrt{k}} para k=1,2,3,\dots. A pergunta é: a soma infinita desses termos tem valor finito (converge) ou cresce sem limite (diverge)?

Passo 2

Mostrar uma propriedade útil dos termos: que são positivos e monotonicamente decrescentes.
Defina a_k=\dfrac{1}{\sqrt{k}}. Para k\ge1 temos \sqrt{k+1}>\sqrt{k}, portanto
\frac{1}{\sqrt{k+1}}<\frac{1}{\sqrt{k}},
ou seja, a_{k+1}<a_k. Logo os termos são positivos e decrescentes — condição que permite usar o Teste da Integral (entre outros testes).

Passo 3

Apresentar o Teste da Integral de forma simples e prática.
Se f(x) é contínua, positiva e decrescente para x\ge1 e a_k=f(k), então a série \sum_{k=1}^{\infty} a_k converge se, e somente se, a integral imprópria \displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx for convergente. Intuição curta (sem formalizar prova): a soma de retângulos com altura f(k) se compara com a área sob a curva y=f(x); as desigualdades entre soma e integral dão a equivalência de convergência.

Passo 4

Aplicar o Teste da Integral ao nosso caso.
Escolhemos f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}. Essa função é contínua, positiva e decrescente em [1,\infty), e satisfaz f(k)=\dfrac{1}{\sqrt{k}}. Pelo Teste da Integral, basta estudar
\int_{1}^{\infty} x^{-1/2}\,dx.

Passo 5

Calcular a integral imprópria passo a passo.
A primitiva de x^{-1/2} é obtida pela regra \int x^{\alpha}\,dx=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} para \alpha\neq -1. Aqui \alpha=-\tfrac{1}{2}, então
\int x^{-1/2}\,dx = \frac{x^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1} = \frac{x^{1/2}}{1/2}=2x^{1/2}.
Agora avaliaremos o limite impróprio:
\int_{1}^{\infty} x^{-1/2}\,dx = \lim_{R\to\infty} \left[2x^{1/2}\right]_{1}^{R} = \lim_{R\to\infty} \left(2\sqrt{R}-2\sqrt{1}\right).
Como \sqrt{R}\to\infty quando R\to\infty, o valor da integral é infinito:
\int_{1}^{\infty} x^{-1/2}\,dx = \infty.

Passo 6

Concluir usando o resultado da integral.
Pelo Teste da Integral, como \displaystyle \int_{1}^{\infty} x^{-1/2}\,dx diverge, a série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}} também diverge. Outra forma rápida de ver isso é lembrar do teste-p: a série \sum 1/n^{p} converge exatamente quando p>1; aqui p=\tfrac{1}{2}\le1, então diverge.

Passo 7

Comentário final curto e motivador: a série é um exemplo clássico — os termos vão a zero, mas não rápido o bastante para a soma ficar finita. Está tudo certo, você entendeu o procedimento: verificar monotonia/positividade, aplicar o teste apropriado (aqui a integral ou a propriedade do p-série) e concluir pela divergência.

Resposta

\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}} diverge.

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