Verifique a convergência (ou não) das seguíntes séries:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge.
Informações dadas e úteis: os termos gerais são positivos e iguais a para
. A pergunta é: a soma infinita desses termos tem valor finito (converge) ou cresce sem limite (diverge)?
Informações dadas e úteis: os termos gerais são positivos e iguais a
Passo 2
Mostrar uma propriedade útil dos termos: que são positivos e monotonicamente decrescentes.
Defina . Para
temos
, portanto
Defina
ou seja,
. Logo os termos são positivos e decrescentes — condição que permite usar o Teste da Integral (entre outros testes).
Passo 3
Apresentar o Teste da Integral de forma simples e prática.
Se é contínua, positiva e decrescente para
e
, então a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
for convergente. Intuição curta (sem formalizar prova): a soma de retângulos com altura
se compara com a área sob a curva
; as desigualdades entre soma e integral dão a equivalência de convergência.
Se
Passo 4
Aplicar o Teste da Integral ao nosso caso.
Escolhemos . Essa função é contínua, positiva e decrescente em
, e satisfaz
. Pelo Teste da Integral, basta estudar
Escolhemos
Passo 5
Calcular a integral imprópria passo a passo.
A primitiva de é obtida pela regra
para
. Aqui
, então
A primitiva de
Agora avaliaremos o limite impróprio:
Como
quando
, o valor da integral é infinito:
Passo 6
Concluir usando o resultado da integral.
Pelo Teste da Integral, como diverge, a série
também diverge. Outra forma rápida de ver isso é lembrar do teste-p: a série
converge exatamente quando
; aqui
, então diverge.
Pelo Teste da Integral, como
Passo 7
Comentário final curto e motivador: a série é um exemplo clássico — os termos vão a zero, mas não rápido o bastante para a soma ficar finita. Está tudo certo, você entendeu o procedimento: verificar monotonia/positividade, aplicar o teste apropriado (aqui a integral ou a propriedade do p-série) e concluir pela divergência.