Resolva os sistemas lineares seguintes utilizando o método de eliminação de gauss com pivotação e retendo 4 casas decimais. Verifique a exatidão da solução através do cálculo do resíduo. \left\{\begin{array}{ccc}x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4} & =-1 \\\ x_{1}+x_{2}+5 x_{3}+6 x_{4} & =-7 \\\\ 2 x_{1}+5 x_{2}+x_{3}+2 x_{4} & =10 \\\\ 4 x_{1}+6 x_{2}+2 x_{3}+x_{4} & =12\end{array}\right.
usando eliminação de Gauss com pivotação (troca de linhas quando for preciso) e retendo 4 casas decimais nas expressões numéricas apresentadas. Além disso, verificar a exatidão da solução calculando o resíduo (vetor r=b-Ax).
Informações relevantes dadas:
Regra prática do método: em cada coluna k escolhemos como pivot a linha (entre as não eliminadas) cujo valor absoluto na coluna k é máximo (pivotação parcial). Depois usamos multiplicadores m_{ik}=\dfrac{a_{ik}}{a_{kk}} para zerar abaixo do pivot.]
Passo 3
Na coluna 1 os valores absolutos são 1,1,2,4. O máximo é 4 (linha 4), então trocamos a linha 1 com a linha 4 (pivotação):
Na coluna 2, entre as linhas 2–4, os valores absolutos são 0{,}5,\;2,\;0{,}5. O máximo é 2{,}0000 (linha 3), portanto trocamos a linha 2 com a linha 3:
Na coluna 3, entre as linhas 3–4, os valores absolutos são 4{,}5000 e 2{,}5000. O maior é 4{,}5000 (já está na linha 3). Tomamos a_{33}=4{,}5000. O multiplicador para zerar a entrada a_{43} é
m_{43}=\frac{2{,}5000}{4{,}5000}=\frac{5}{9}\approx 0{,}5556\quad(\text{apresentado com 4 casas}).
(Detalhe exato: o cálculo exato dá 0{,}7222\ldots = 13/18 e b_4=2 exatamente; mostramos truncado/arreondado com 4 casas.)
A matriz triangular superior (com 4 casas decimais) é:
que correspondem numericamente aos valores apresentados.)
Passo 7
Definimos o resíduo como r=b-Ax. Calculamos A x usando os valores exatos racionais ou os valores numéricos obtidos; aqui mostro o cálculo exato para cada componente (para ver a exatidão):
Intepretação prática: o resíduo nulo prova que a solução encontrada satisfaz exatamente o sistema (aqui deu zero exato porque os cálculos podem ser expressos em frações exatas); se tivéssemos acumulado erros de arredondamento, o resíduo seria pequeno (próximo de zero) indicando boa acurácia.