Resolva os sistemas lineares seguintes utilizando o método de eliminação de gauss com pivotação e retendo 4 casas decimais. Verifique a exatidão da solução através do cálculo do resíduo.
\left\{\begin{array}{ccc}x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4} & =-1 \\\ x_{1}+x_{2}+5 x_{3}+6 x_{4} & =-7 \\\\ 2 x_{1}+5 x_{2}+x_{3}+2 x_{4} & =10 \\\\ 4 x_{1}+6 x_{2}+2 x_{3}+x_{4} & =12\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: resolver o sistema linear
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4} = -1\\[4pt] x_{1}+x_{2}+5 x_{3}+6 x_{4} = -7\\[4pt] 2 x_{1}+5 x_{2}+x_{3}+2 x_{4} = 10\\[4pt] 4 x_{1}+6 x_{2}+2 x_{3}+x_{4} = 12 \end{cases}
usando eliminação de Gauss com pivotação (troca de linhas quando for preciso) e retendo 4 casas decimais nas expressões numéricas apresentadas. Além disso, verificar a exatidão da solução calculando o resíduo (vetor r=b-Ax).
Informações relevantes dadas:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 4\\[2pt] 1 & 1 & 5 & 6\\[2pt] 2 & 5 & 1 & 2\\[2pt] 4 & 6 & 2 & 1 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-7\\[2pt]10\\[2pt]12\end{pmatrix}.
O objetivo final: encontrar x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^\top e o resíduo r=b-Ax.]

Passo 2

Montamos a matriz aumentada inicial (mostrando com 4 casas decimais):
\left[\begin{array}{cccc|c} 1{,}0000 & 1{,}0000 & 3{,}0000 & 4{,}0000 & -1{,}0000\\[2pt] 1{,}0000 & 1{,}0000 & 5{,}0000 & 6{,}0000 & -7{,}0000\\[2pt] 2{,}0000 & 5{,}0000 & 1{,}0000 & 2{,}0000 & 10{,}0000\\[2pt] 4{,}0000 & 6{,}0000 & 2{,}0000 & 1{,}0000 & 12{,}0000 \end{array}\right]
Regra prática do método: em cada coluna k escolhemos como pivot a linha (entre as não eliminadas) cujo valor absoluto na coluna k é máximo (pivotação parcial). Depois usamos multiplicadores m_{ik}=\dfrac{a_{ik}}{a_{kk}} para zerar abaixo do pivot.]

Passo 3

Na coluna 1 os valores absolutos são 1,1,2,4. O máximo é 4 (linha 4), então trocamos a linha 1 com a linha 4 (pivotação):
\left[\begin{array}{cccc|c} 4{,}0000 & 6{,}0000 & 2{,}0000 & 1{,}0000 & 12{,}0000\\[2pt] 1{,}0000 & 1{,}0000 & 5{,}0000 & 6{,}0000 & -7{,}0000\\[2pt] 2{,}0000 & 5{,}0000 & 1{,}0000 & 2{,}0000 & 10{,}0000\\[2pt] 1{,}0000 & 1{,}0000 & 3{,}0000 & 4{,}0000 & -1{,}0000 \end{array}\right]
Calculamos os multiplicadores para zerar abaixo do pivot a_{11}=4:
m_{21}=\frac{1}{4}=0{,}2500,\quad m_{31}=\frac{2}{4}=0{,}5000,\quad m_{41}=\frac{1}{4}=0{,}2500.
Subtraímos m_{i1} vezes a linha 1 da linha i para i=2,3,4. As novas linhas (apresentadas com 4 casas decimais) ficam:
\begin{aligned} \text{linha }2 &: \;[0{,}0000,\; -0{,}5000,\; 4{,}5000,\; 5{,}7500\;|\;-10{,}0000],\\[2pt] \text{linha }3 &: \;[0{,}0000,\; 2{,}0000,\; 0{,}0000,\; 1{,}5000\;|\; 4{,}0000],\\[2pt] \text{linha }4 &: \;[0{,}0000,\; -0{,}5000,\; 2{,}5000,\; 3{,}7500\;|\; -4{,}0000]. \end{aligned}
A matriz aumentada agora é
\left[\begin{array}{cccc|c} 4{,}0000 & 6{,}0000 & 2{,}0000 & 1{,}0000 & 12{,}0000\\[2pt] 0{,}0000 & -0{,}5000 & 4{,}5000 & 5{,}7500 & -10{,}0000\\[2pt] 0{,}0000 & 2{,}0000 & 0{,}0000 & 1{,}5000 & 4{,}0000\\[2pt] 0{,}0000 & -0{,}5000 & 2{,}5000 & 3{,}7500 & -4{,}0000 \end{array}\right].]

Passo 4

Na coluna 2, entre as linhas 2–4, os valores absolutos são 0{,}5,\;2,\;0{,}5. O máximo é 2{,}0000 (linha 3), portanto trocamos a linha 2 com a linha 3:
\left[\begin{array}{cccc|c} 4{,}0000 & 6{,}0000 & 2{,}0000 & 1{,}0000 & 12{,}0000\\[2pt] 0{,}0000 & 2{,}0000 & 0{,}0000 & 1{,}5000 & 4{,}0000\\[2pt] 0{,}0000 & -0{,}5000 & 4{,}5000 & 5{,}7500 & -10{,}0000\\[2pt] 0{,}0000 & -0{,}5000 & 2{,}5000 & 3{,}7500 & -4{,}0000 \end{array}\right]
Calculamos os multiplicadores para zerar abaixo de a_{22}=2{,}0000:
m_{32}=\frac{-0{,}5000}{2{,}0000}=-0{,}2500,\qquad m_{42}=\frac{-0{,}5000}{2{,}0000}=-0{,}2500.
Aplicando as operações linha \leftarrow linha - m_{i2}\cdot (linha 2) obtemos (apresentados com 4 casas decimais):
\begin{aligned} \text{linha }3 &: \;[0{,}0000,\;0{,}0000,\;4{,}5000,\;6{,}1250\;|\;-9{,}0000],\\[2pt] \text{linha }4 &: \;[0{,}0000,\;0{,}0000,\;2{,}5000,\;4{,}1250\;|\;-3{,}0000]. \end{aligned}
Matriz atual:
\left[\begin{array}{cccc|c} 4{,}0000 & 6{,}0000 & 2{,}0000 & 1{,}0000 & 12{,}0000\\[2pt] 0{,}0000 & 2{,}0000 & 0{,}0000 & 1{,}5000 & 4{,}0000\\[2pt] 0{,}0000 & 0{,}0000 & 4{,}5000 & 6{,}1250 & -9{,}0000\\[2pt] 0{,}0000 & 0{,}0000 & 2{,}5000 & 4{,}1250 & -3{,}0000 \end{array}\right].]

Passo 5

Na coluna 3, entre as linhas 3–4, os valores absolutos são 4{,}5000 e 2{,}5000. O maior é 4{,}5000 (já está na linha 3). Tomamos a_{33}=4{,}5000. O multiplicador para zerar a entrada a_{43} é
m_{43}=\frac{2{,}5000}{4{,}5000}=\frac{5}{9}\approx 0{,}5556\quad(\text{apresentado com 4 casas}).
Eliminando:
\begin{aligned} \text{coluna 3:}&\;2{,}5000 - m_{43}\cdot 4{,}5000 = 0{,}\\[4pt] \text{coluna 4:}&\;4{,}1250 - m_{43}\cdot 6{,}1250 = 0{,}7222\\ (\text{apresentado com 4 casas}),\\[4pt] \text{b:}&\;-3{,}0000 - m_{43}\cdot (-9{,}0000) = 2{,}0000\\ (\text{resultado exato }2). \end{aligned}
(Detalhe exato: o cálculo exato dá 0{,}7222\ldots = 13/18 e b_4=2 exatamente; mostramos truncado/arreondado com 4 casas.)
A matriz triangular superior (com 4 casas decimais) é:
\left[\begin{array}{cccc|c} 4{,}0000 & 6{,}0000 & 2{,}0000 & 1{,}0000 & 12{,}0000\\[2pt] 0{,}0000 & 2{,}0000 & 0{,}0000 & 1{,}5000 & 4{,}0000\\[2pt] 0{,}0000 & 0{,}0000 & 4{,}5000 & 6{,}1250 & -9{,}0000\\[2pt] 0{,}0000 & 0{,}0000 & 0{,}0000 & 0{,}7222 & 2{,}0000 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora resolvemos o sistema triangular superior por retro-substituição. Em geral, para uma linha k temos
a_{kk}x_k + \sum_{j=k+1}^n a_{kj}x_j = b_k \quad\Rightarrow\quad x_k = \frac{1}{a_{kk}}\Big(b_k - \sum_{j=k+1}^n a_{kj}x_j\Big).
Começamos por x_4 (linha 4):
a_{44}=0{,}7222\quad(\text{exato }13/18),\qquad b_4=2{,}0000.
x_4 = \frac{2{,}0000}{0{,}7222} \approx 2{,}769230769\\ \Rightarrow\\ x_4\approx 2{,}7692\\ (\text{4 casas}).
Linha 3 ( a_{33}=4{,}5000,\; a_{34}=6{,}1250,\; b_3=-9{,}0000):
x_3 = \frac{-9{,}0000 - 6{,}1250\cdot x_4}{4{,}5000}.
Usando x_4=2{,}769230769 (valor razoavelmente preciso) obtemos
x_3 \approx -5{,}769230769 \;\Rightarrow\; x_3\approx -5{,}7692.
Linha 2 ( a_{22}=2{,}0000,\; a_{24}=1{,}5000,\; b_2=4{,}0000, nota que a_{23}=0):
x_2 = \frac{4{,}0000 - 1{,}5000\cdot x_4}{2{,}0000} \approx \frac{4{,}0000 - 1{,}5000\cdot 2{,}769230769}{2{,}0000} \approx -0{,}0769230769 \;\Rightarrow\; x_2\approx -0{,}0769.
Linha 1 ( a_{11}=4{,}0000,\; a_{12}=6{,}0000,\; a_{13}=2{,}0000,\; a_{14}=1{,}0000,\; b_1=12{,}0000):
x_1 = \frac{12{,}0000 - 6{,}0000\cdot x_2 - 2{,}0000\cdot x_3 - 1{,}0000\cdot x_4}{4{,}0000} \approx 5{,}307692308 \;\Rightarrow\; x_1\approx 5{,}3077.
Resumindo os valores (arredondados a 4 casas decimais conforme pedido):
x_1\approx 5{,}3077,\qquad x_2\approx -0{,}0769,\qquad x_3\approx -5{,}7692,\qquad x_4\approx 2{,}7692.
(Observação: os valores racionais exatos encontrados pela eliminação simbólica são
x_1=\frac{69}{13},\; x_2=-\frac{1}{13},\; x_3=-\frac{75}{13},\; x_4=\frac{36}{13},
que correspondem numericamente aos valores apresentados.)

Passo 7

Definimos o resíduo como r=b-Ax. Calculamos A x usando os valores exatos racionais ou os valores numéricos obtidos; aqui mostro o cálculo exato para cada componente (para ver a exatidão):
Linha 1:
a_{1\cdot}x = x_1+x_2+3x_3+4x_4 = \frac{69}{13}-\frac{1}{13}+3\cdot\big(-\frac{75}{13}\big)+4\cdot\frac{36}{13} = -1,
logo b_1- (Ax)_1 = -1 -(-1)=0.
Linha 2:
a_{2\cdot}x = x_1+x_2+5x_3+6x_4 = -7 \quad\Rightarrow\quad \text{resíduo }0.í
Linha 3:
a_{3\cdot}x = 2x_1+5x_2+x_3+2x_4 = 10 \quad\Rightarrow\quad \text{resíduo }0.í
Linha 4:
a_{4\cdot}x = 4x_1+6x_2+2x_3+x_4 = 12 \quad\Rightarrow\quad \text{resíduo }0.í
Portanto o vetor resíduo exato é r=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. Em formato com 4 casas decimais:
r=(0{,}0000,\;0{,}0000,\;0{,}0000,\;0{,}0000)^\top.
Intepretação prática: o resíduo nulo prova que a solução encontrada satisfaz exatamente o sistema (aqui deu zero exato porque os cálculos podem ser expressos em frações exatas); se tivéssemos acumulado erros de arredondamento, o resíduo seria pequeno (próximo de zero) indicando boa acurácia.

Resposta

x_{1}=5{,}3077,\;x_{2}=-0{,}0769,\;x_{3}=-5{,}7692,\;x_{4}=2{,}7692
r=(0{,}0000,\;0{,}0000,\;0{,}0000,\;0{,}0000)^\top

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