Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
13. y^{\prime}-y=2 t e^{2 t}, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial com a equação diferencial e a condição inicial abaixo:
y'-y=2t e^{2t},
y(0)=1.
O que se pede é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial para t (presumivelmente para todos t\in\mathbb{R}) e que verifica a condição inicial dada.

Passo 2

Vamos selecionar um método prático para resolver essa equação. A equação está na forma de uma equação diferencial linear de primeira ordem; um método simples e padrão aqui é o fator integrante. Vou explicar o conceito do fator integrante de forma bem clara:
O objetivo do fator integrante é transformar a equação numa forma que seja a derivada de um produto. Se temos uma equação na forma
y'+p(t)y=g(t),
então o fator integrante \mu(t) é definido por
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}.
Multiplicando toda a equação por \mu(t) obtemos (\mu(t)y)'=\mu(t)g(t), que é fácil de integrar. Aqui não estou assumindo que você já sabe isso — estou mostrando a fórmula e o porquê.
No nosso caso, devemos escrever a equação na forma y'+p(t)y=g(t). Temos
y'-y=2t e^{2t},
logo
p(t)=-1,\qquad g(t)=2t e^{2t}.

Passo 3

Calcular o fator integrante usando a fórmula:
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}=e^{\int -1\,dt}=e^{-t}.
Agora multiplicamos a equação original por \mu(t)=e^{-t}. Ao multiplicar, do lado esquerdo obtemos a derivada de um produto (essa é a mágica do fator integrante). Vamos fazer isso passo a passo:
Multiplicando,
e^{-t}y' - e^{-t}y = e^{-t}\cdot 2t e^{2t}.
Pela propriedade do fator integrante sabemos que o lado esquerdo é
(e^{-t}y)'.
No lado direito, simplificamos as exponenciais:
e^{-t}\cdot 2t e^{2t}=2t e^{t}.
Portanto a equação transformada é
(e^{-t}y)' = 2t e^{t}.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a t. Isso dá
e^{-t}y = \int 2t e^{t}\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Precisamos calcular a integral \int 2t e^{t}\,dt. Vou fazer isso por partes, explicando cada escolha:
Para integrar \int 2t e^{t}\,dt, use integração por partes. Tome
u=2t \quad\Rightarrow\quad du=2\,dt,
dv=e^{t}\,dt \quad\Rightarrow\quad v=e^{t}.
A fórmula de integração por partes é \int u\,dv = uv - \int v\,du. Aplicando:
\int 2t e^{t}\,dt = 2t e^{t} - \int 2 e^{t}\,dt = 2t e^{t} - 2 e^{t} + C'.
Podemos escrever isso fatorando e^{t}:
\int 2t e^{t}\,dt = 2e^{t}(t-1) + C'.
Voltando à equação para e^{-t}y,
e^{-t}y = 2e^{t}(t-1) + C,
onde reabsorvi constantes em C.

Passo 5

Isolar y multiplicando ambos os lados por e^{t}:
y = 2 e^{2t}(t-1) + C e^{t}.
Agora aplicamos a condição inicial y(0)=1 para determinar C. Substituindo t=0:
y(0)=2 e^{0}(0-1) + C e^{0} = 2\cdot 1\cdot (-1) + C\cdot 1 = -2 + C.
Como y(0)=1, temos -2 + C = 1, logo
C=3.
Portanto a solução particular é
y(t)=2 e^{2t}(t-1) + 3 e^{t}.

Passo 6

É sempre bom verificar rapidamente que a solução encontrada realmente satisfaz a equação original. Vou calcular y' e verificar que y'-y=2t e^{2t}.
Primeiro, compute y'. Usando regra do produto na parte 2 e^{2t}(t-1):
\frac{d}{dt}\bigl(2 e^{2t}(t-1)\bigr)=2\bigl((t-1)\cdot 2e^{2t} + 1\cdot e^{2t}\bigr)= (4t-2)e^{2t}.
E
\frac{d}{dt}\bigl(3 e^{t}\bigr)=3 e^{t}.
Então
y'=(4t-2)e^{2t}+3 e^{t}.
Subtraindo y,
y'-y = \bigl((4t-2)e^{2t}+3 e^{t}\bigr) - \bigl(2(t-1)e^{2t}+3 e^{t}\bigr).
Ao simplificar os termos com e^{t} que se cancelam, e os termos com e^{2t}:
y'-y = (4t-2 -2t +2)e^{2t} = 2t e^{2t},
que é exatamente o lado direito da equação original. A condição inicial também já foi satisfeita, então a solução está correta.

Resposta

y(t)=2 e^{2t}(t-1)+3 e^{t}

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