Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
13. y^{\prime}-y=2 t e^{2 t}, \quad y(0)=1
13. y^{\prime}-y=2 t e^{2 t}, \quad y(0)=1
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial com a equação diferencial e a condição inicial abaixo:
O que se pede é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para
(presumivelmente para todos
) e que verifica a condição inicial dada.
Passo 2
Vamos selecionar um método prático para resolver essa equação. A equação está na forma de uma equação diferencial linear de primeira ordem; um método simples e padrão aqui é o fator integrante. Vou explicar o conceito do fator integrante de forma bem clara:
O objetivo do fator integrante é transformar a equação numa forma que seja a derivada de um produto. Se temos uma equação na forma
então o fator integrante
é definido por
Multiplicando toda a equação por
obtemos
, que é fácil de integrar. Aqui não estou assumindo que você já sabe isso — estou mostrando a fórmula e o porquê.
No nosso caso, devemos escrever a equação na forma
. Temos
logo
Passo 3
Calcular o fator integrante usando a fórmula:
Agora multiplicamos a equação original por
. Ao multiplicar, do lado esquerdo obtemos a derivada de um produto (essa é a mágica do fator integrante). Vamos fazer isso passo a passo:
Multiplicando,
Pela propriedade do fator integrante sabemos que o lado esquerdo é
No lado direito, simplificamos as exponenciais:
Portanto a equação transformada é
Passo 4
Agora integramos ambos os lados em relação a
. Isso dá
onde
é a constante de integração. Precisamos calcular a integral
. Vou fazer isso por partes, explicando cada escolha:
Para integrar
, use integração por partes. Tome
A fórmula de integração por partes é
. Aplicando:
Podemos escrever isso fatorando
:
Voltando à equação para
,
onde reabsorvi constantes em
.
Passo 5
Isolar
multiplicando ambos os lados por
:
Agora aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
:
Como
, temos
, logo
Portanto a solução particular é
Passo 6
É sempre bom verificar rapidamente que a solução encontrada realmente satisfaz a equação original. Vou calcular
e verificar que
.
Primeiro, compute
. Usando regra do produto na parte
:
E
Então
Subtraindo
,
Ao simplificar os termos com
que se cancelam, e os termos com
:
que é exatamente o lado direito da equação original. A condição inicial também já foi satisfeita, então a solução está correta.