Verifique a convergência das sequências
listadas abaixo. Caso a sequência seja convergente, determine o valor do seu limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para verificar se a sequência converge. Se for convergente, determinar o limite. Informações claras que temos:
- O fator
faz os termos alternarem de sinal (positivo e negativo). - O fator
é a parte positiva cujo comportamento quando precisamos estudar. - A pergunta é:
converge? Em caso afirmativo, qual é ?
Passo 2
Estratégia escolhida (justificativa didática): como existe o fator alternante
, é natural separar a sequência em duas subsequências — uma para índices pares e outra para índices ímpares — e calcular os limites dessas subsequências. Se as duas subsequências tiverem o mesmo limite, a sequência original converge para esse valor; se tiverem limites diferentes, a sequência original não converge. Vou aplicar isto passo a passo.
Passo 3
Primeira observação técnica útil (como calcular limites de quocientes polinomiais): para calcular
divido numerador e denominador por
. Obtemos
Ao fazer
, temos
, logo
Isto mostra que a magnitude dos termos tende para
; falta agora ver o efeito do sinal alternante.
Passo 4
Analisar a subsequência dos índices pares. Coloque
com
. Então
Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Fazendo
(equivalente a
pela subsequência par) vem
Passo 5
Analisar a subsequência dos índices ímpares. Coloque
. Então
Escrevendo em termos de
,
Fazendo
obtemos
Passo 6
Conclusão a partir das subsequências: a subsequência par converge para
e a subsequência ímpar converge para
. Há um resultado-chave sobre sequências que usei aqui (explico de forma simples): se uma sequência
converge para um limite
, então toda subsequência também converge para o mesmo
. O contraposso é: se existirem duas subsequências que convergem para limites distintos, então a sequência original não pode convergir. Como encontramos dois limites diferentes (
e
), segue que a sequência
não converge.
Resposta
A sequência
não converge.