Verifique a convergência das sequências \left\{a_{n}\right\} listadas abaixo. Caso a sequência seja convergente, determine o valor do seu limite.
a_{n}=(-1)^{n} \frac{n}{2 n+1}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=(-1)^{n}\,\frac{n}{2n+1}
e pede para verificar se a sequência converge. Se for convergente, determinar o limite. Informações claras que temos:
  • O fator (-1)^{n} faz os termos alternarem de sinal (positivo e negativo).
  • O fator \dfrac{n}{2n+1} é a parte positiva cujo comportamento quando n\to\infty precisamos estudar.
  • A pergunta é: \{a_n\} converge? Em caso afirmativo, qual é \lim_{n\to\infty} a_n?

Passo 2

Estratégia escolhida (justificativa didática): como existe o fator alternante (-1)^{n}, é natural separar a sequência em duas subsequências — uma para índices pares e outra para índices ímpares — e calcular os limites dessas subsequências. Se as duas subsequências tiverem o mesmo limite, a sequência original converge para esse valor; se tiverem limites diferentes, a sequência original não converge. Vou aplicar isto passo a passo.

Passo 3

Primeira observação técnica útil (como calcular limites de quocientes polinomiais): para calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}
divido numerador e denominador por n. Obtemos
\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2+\tfrac{1}{n}}.
Ao fazer n\to\infty, temos \tfrac{1}{n}\to0, logo
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2+0}=\frac{1}{2}.
Isto mostra que a magnitude dos termos tende para \tfrac{1}{2}; falta agora ver o efeito do sinal alternante.

Passo 4

Analisar a subsequência dos índices pares. Coloque n=2k com k\in\mathbb{N}. Então
a_{2k}=(-1)^{2k}\,\frac{2k}{4k+1}=+\,\frac{2k}{4k+1}.
Dividindo numerador e denominador por k obtemos
\frac{2k}{4k+1}=\frac{2}{4+\tfrac{1}{k}}.
Fazendo k\to\infty (equivalente a n\to\infty pela subsequência par) vem
\lim_{k\to\infty} a_{2k}=\frac{2}{4+0}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Analisar a subsequência dos índices ímpares. Coloque n=2k+1. Então
a_{2k+1}=(-1)^{2k+1}\,\frac{2k+1}{4k+3}=-\,\frac{2k+1}{4k+3}.
Escrevendo em termos de k,
\frac{2k+1}{4k+3}=\frac{2+\tfrac{1}{k}}{4+\tfrac{3}{k}}.
Fazendo k\to\infty obtemos
\lim_{k\to\infty} a_{2k+1}=-\,\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}.

Passo 6

Conclusão a partir das subsequências: a subsequência par converge para \tfrac{1}{2} e a subsequência ímpar converge para -\tfrac{1}{2}. Há um resultado-chave sobre sequências que usei aqui (explico de forma simples): se uma sequência \{a_n\} converge para um limite L, então toda subsequência também converge para o mesmo L. O contraposso é: se existirem duas subsequências que convergem para limites distintos, então a sequência original não pode convergir. Como encontramos dois limites diferentes ( \tfrac{1}{2} e -\tfrac{1}{2}), segue que a sequência \{a_n\} não converge.

Resposta

A sequência \{a_n\} não converge.

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