Verifique a convergência das sequências \left\{a_{n}\right\} listadas abaixo. Caso a sequência seja convergente, determine o valor do seu limite. a_{n}=\frac{5 n^{2}-3 n+1}{2 n^{2}+7}
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede.
É dada a sequência \displaystyle a_{n}=\frac{5 n^{2}-3 n+1}{2 n^{2}+7}, definida para n=1,2,3,\dots.
O enunciado pede que verifiquemos se a sequência converge quando n\to\infty e, caso converja, que determinemos o valor do limite.
Passo 2
Ideia intuitiva e ferramentas que vamos usar (sem resolver ainda).
Intuição: quando n fica muito grande, os termos com maior potência de n dominam a expressão. Aqui o numerador e o denominador têm termos de ordem n^{2}, então a primeira suspeita é que o limite seja a razão entre os coeficientes de n^{2}, isto é \dfrac{5}{2}.
Ferramenta elementar que usaremos: dividir numerador e denominador por n^{2} e usar que \dfrac{1}{n}\to0 e \dfrac{1}{n^{2}}\to0 quando n\to\infty. Também podemos fazer uma prova mais “estrita” usando a definição \varepsilon-N de limite para confirmar rigorosamente.
Passo 3
Cálculo direto dividindo por n^{2} (passo algébrico que facilita ver o limite).