Verifique a convergência das sequências \left\{a_{n}\right\} listadas abaixo. Caso a sequência seja convergente, determine o valor do seu limite.
a_{n}=\frac{5 n^{2}-3 n+1}{2 n^{2}+7}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede.
  • É dada a sequência \displaystyle a_{n}=\frac{5 n^{2}-3 n+1}{2 n^{2}+7}, definida para n=1,2,3,\dots.
  • O enunciado pede que verifiquemos se a sequência converge quando n\to\infty e, caso converja, que determinemos o valor do limite.

Passo 2

Ideia intuitiva e ferramentas que vamos usar (sem resolver ainda).
  • Intuição: quando n fica muito grande, os termos com maior potência de n dominam a expressão. Aqui o numerador e o denominador têm termos de ordem n^{2}, então a primeira suspeita é que o limite seja a razão entre os coeficientes de n^{2}, isto é \dfrac{5}{2}.
  • Ferramenta elementar que usaremos: dividir numerador e denominador por n^{2} e usar que \dfrac{1}{n}\to0 e \dfrac{1}{n^{2}}\to0 quando n\to\infty. Também podemos fazer uma prova mais “estrita” usando a definição \varepsilon- N de limite para confirmar rigorosamente.

Passo 3

Cálculo direto dividindo por n^{2} (passo algébrico que facilita ver o limite).
Dividimos numerador e denominador por n^{2}:
a_{n}=\frac{5 n^{2}-3 n+1}{2 n^{2}+7} =\frac{5-\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}}{2+\dfrac{7}{n^{2}}}.
Agora observamos os termos que vão para zero quando n\to\infty:
\frac{3}{n}\to0,\qquad \frac{1}{n^{2}}\to0,\qquad \frac{7}{n^{2}}\to0.
Pela propriedade de limites (soma, produto e quociente, quando o denominador limite é não nulo), podemos passar ao limite:
\lim_{n\to\infty} a_{n} =\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\!\left(5-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)} {\displaystyle\lim_{n\to\infty}\!\left(2+\frac{7}{n^{2}}\right)} =\frac{5-0+0}{2+0}=\frac{5}{2}.
Isto mostra de forma clara e intuitiva que a sequência converge e que o limite é \dfrac{5}{2}.

Passo 4

Prova rigorosa estilo \varepsilon- N (mostrando que a diferença para o limite vai a zero com uma estimativa explícita).
Queremos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N,
\left|a_{n}-\frac{5}{2}\right|<\varepsilon.
Calculemos a diferença exata:
a_{n}-\frac{5}{2} =\frac{5 n^{2}-3 n+1}{2 n^{2}+7}-\frac{5}{2} =\frac{2(5 n^{2}-3 n+1)-5(2 n^{2}+7)}{2(2 n^{2}+7)}.
Simplificando o numerador:
2(5 n^{2}-3 n+1)-5(2 n^{2}+7)=10 n^{2}-6 n+2-10 n^{2}-35=-(6 n+33).
Portanto
a_{n}-\frac{5}{2}=-\frac{6 n+33}{4 n^{2}+14},
e tomando valor absoluto,
\left|a_{n}-\frac{5}{2}\right|=\frac{6 n+33}{4 n^{2}+14}.
Para n\ge1 podemos estimar
\frac{6 n+33}{4 n^{2}+14}\le\frac{6 n+33}{4 n^{2}} =\frac{6}{4}\cdot\frac{1}{n}+\frac{33}{4}\cdot\frac{1}{n^{2}} \le\frac{39}{4}\cdot\frac{1}{n},
porque \dfrac{33}{4}\dfrac{1}{n^{2}}\le\dfrac{33}{4}\dfrac{1}{n} para n\ge1. Assim
\left|a_{n}-\frac{5}{2}\right|\le\frac{39}{4}\cdot\frac{1}{n}.
Dado \varepsilon>0, escolha N tal que
N\ge\frac{39}{4\varepsilon}.
Então, para n\ge N,
\left|a_{n}-\frac{5}{2}\right|\le\frac{39}{4}\cdot\frac{1}{n}\le\frac{39}{4}\cdot\frac{1}{N}\le\varepsilon.
Isso completa a prova rigorosa de que \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=\dfrac{5}{2}.

Passo 5

Resumo final e interpretação curta.
  • A sequência \displaystyle a_{n}=\frac{5 n^{2}-3 n+1}{2 n^{2}+7} é convergente.
  • O limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior ordem: \dfrac{5}{2}.
  • Apresentamos tanto o cálculo por divisão por n^{2} (intuitivo) quanto uma prova \varepsilon- N com estimativa explícita.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=\frac{5}{2}

Exercícios relacionados