Verifique a convergência das sequências
listadas abaixo. Caso a sequência seja convergente, determine o valor do seu limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
onde
é um inteiro positivo que tende a infinito. A pergunta é: verificar se
converge e, se convergente, encontrar o limite
.
Informações relevantes que temos:
- A expressão envolve uma potência com expoente que depende de
. - A quantidade dentro do parêntese é maior que
para todo positivo, pois . - Precisamos estudar o comportamento quando
.
Passo 2
Idéia do método (breve e intuitiva): uma forma padrão para limites do tipo
é usar o logaritmo natural para transformar a potência em produto, estudar o limite do logaritmo e então voltar exponenciando. Vou aplicar isso aqui com
. Explico cada passo e as justificativas usadas.
Passo 3
Defino o logaritmo natural de
. Como
para todo
, podemos aplicar
sem problemas. Seja
Usando a propriedade do logaritmo
, obtemos
Aqui
é mais fácil de analisar porque é um produto em vez de uma potência.
Passo 4
Faço a substuição
. Quando
temos
. Reescrevendo
em função de
:
Ou seja,
Portanto, para encontrar
basta estudar
.
Passo 5
Estudo o limite
usando desigualdades que valem para
. Para
vale a dupla desigualdade (que pode ser vista a partir da concavidade de
ou por integrais)
Vou aplicar essa desigualdade dividindo todos os termos por
:
Agora tomo limite quando
. O lado esquerdo tende a
e o lado direito é constantemente
. Assim, pelo teorema do confronto (teorema da sanduíche),
Comentário rápido sobre a desigualdade: ela expressa que
fica entre a reta que tangencia em
e outra aproximação; para nosso objetivo bastou saber que a razão tende a
.
Passo 6
Voltando a
: como
com
e
quando
, segue que
Portanto
quando
.
Passo 7
Usando a continuidade da função exponencial
(ou seja, limites no log revertidos por exponenciação), obtemos
Isso mostra que a sequência converge e o limite é
.