Verifique a convergência das sequências \left\{a_{n}\right\} listadas abaixo. Caso a sequência seja convergente, determine o valor do seu limite.
a_{n}=\left(1+\frac{3}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \{a_n\} definida por
a_n=\left(1+\frac{3}{n}\right)^{n},
onde n é um inteiro positivo que tende a infinito. A pergunta é: verificar se \{a_n\} converge e, se convergente, encontrar o limite \lim_{n\to\infty}a_n.
Informações relevantes que temos:
  • A expressão envolve uma potência com expoente que depende de n.
  • A quantidade dentro do parêntese é maior que 1 para todo n positivo, pois \dfrac{3}{n}>0.
  • Precisamos estudar o comportamento quando n\to\infty.

Passo 2

Idéia do método (breve e intuitiva): uma forma padrão para limites do tipo \left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n é usar o logaritmo natural para transformar a potência em produto, estudar o limite do logaritmo e então voltar exponenciando. Vou aplicar isso aqui com x=3. Explico cada passo e as justificativas usadas.

Passo 3

Defino o logaritmo natural de a_n. Como a_n>0 para todo n, podemos aplicar \ln sem problemas. Seja
b_n=\ln(a_n)=\ln\!\left(\left(1+\frac{3}{n}\right)^{n}\right).
Usando a propriedade do logaritmo \ln(u^v)=v\ln u, obtemos
b_n = n\ln\!\left(1+\frac{3}{n}\right).
Aqui b_n é mais fácil de analisar porque é um produto em vez de uma potência.

Passo 4

Faço a substuição t=\dfrac{3}{n}. Quando n\to\infty temos t\to0^+. Reescrevendo b_n em função de t:
b_n = n\ln\!\left(1+\frac{3}{n}\right)=\frac{3}{t}\ln(1+t)\cdot\frac{t}{t} \quad\text{(mais diretamente: }b_n=\frac{\ln(1+t)}{t}\cdot 3\text{)}.
Ou seja,
b_n = 3\cdot\frac{\ln(1+t)}{t}\quad\text{com }t=\frac{3}{n}\text{ e }t\to0^+.
Portanto, para encontrar \lim_{n\to\infty} b_n basta estudar \lim_{t\to0^+}\dfrac{\ln(1+t)}{t}.

Passo 5

Estudo o limite \lim_{t\to0^+}\dfrac{\ln(1+t)}{t} usando desigualdades que valem para t>0. Para t>0 vale a dupla desigualdade (que pode ser vista a partir da concavidade de \ln ou por integrais)
\frac{t}{1+t}\le \ln(1+t)\le t.
Vou aplicar essa desigualdade dividindo todos os termos por t>0:
\frac{1}{1+t}\le \frac{\ln(1+t)}{t}\le 1.
Agora tomo limite quando t\to0^+. O lado esquerdo tende a \dfrac{1}{1+0}=1 e o lado direito é constantemente 1. Assim, pelo teorema do confronto (teorema da sanduíche),
\lim_{t\to0^+}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
Comentário rápido sobre a desigualdade: ela expressa que \ln(1+t) fica entre a reta que tangencia em 0 e outra aproximação; para nosso objetivo bastou saber que a razão tende a 1.

Passo 6

Voltando a b_n: como b_n=3\cdot\frac{\ln(1+t)}{t} com t=\dfrac{3}{n} e \dfrac{\ln(1+t)}{t}\to1 quando t\to0, segue que
\lim_{n\to\infty} b_n = 3\cdot 1 = 3.
Portanto \ln(a_n)\to 3 quando n\to\infty.

Passo 7

Usando a continuidade da função exponencial \exp(x)=e^{x} (ou seja, limites no log revertidos por exponenciação), obtemos
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} e^{b_n} = e^{\lim_{n\to\infty} b_n} = e^{3}.
Isso mostra que a sequência converge e o limite é e^{3}.

Resposta

e^{3}

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