Verifique que o critério da integral pode ser aplicado e então conclua se as seguintes séries convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3 n+5}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o critério da integral na série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3n+5}
para decidir se ela converge ou diverge. Vamos associar essa soma à função contínua
f(x) = \frac{2}{3x+5},
definida em [1,\infty).

Passo 2

Verificamos as hipóteses do critério da integral:
  1. Positividade e continuidade: para x\ge1, 3x+5>0, logo f(x)>0 e f é contínua.
  2. Monotonia:
f'(x) = -\frac{6}{(3x+5)^2} < 0 \quad\text{para todo }x\ge1,
então f é decrescente em [1,\infty).

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{2}{3x+5}\,dx.
Uma primitiva de \frac{2}{3x+5} é
\int \frac{2}{3x+5}\,dx = \frac{2}{3}\,\ln\bigl(3x+5\bigr) + C.
Portanto,
\int_{1}^{\infty} \frac{2}{3x+5}\,dx = \lim_{R\to\infty}\frac{2}{3}\Bigl[\ln(3R+5)-\ln(8)\Bigr] = \infty.

Passo 4

Como a integral diverge, pelo critério da integral a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3n+5}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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