Verifique que o critério da integral pode ser aplicado e então conclua se as seguintes séries convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+3}

Passo 1

O enunciado pede para usar o critério da integral na série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+3}.
O conteúdo aqui é o Teste da Integral de Cauchy, que exige definir uma função positiva e decrescente cujo valor em inteiros coincida com o termo da série.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=\frac{1}{x+3},
para x\ge1.
Verificamos que
  1. f(x)>0 em todo x\ge1, pois x+3>0.
  2. f é decrescente porque
f'(x)=-\frac{1}{(x+3)^2}<0\quad\text{para todo }x\ge1.

Passo 3

Pelo critério da integral, a série
\sum_{n=1}^{\infty}f(n)
e a integral imprópria
\displaystyle \int_{1}^{\infty}f(x)\,dx
convergem ou divergem simultaneamente.

Passo 4

Calculamos a integral imprópria:
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x+3}\,dx =\lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t}\frac{1}{x+3}\,dx =\lim_{t\to\infty}\bigl[\ln(x+3)\bigr]_{1}^{t} =\lim_{t\to\infty}\bigl(\ln(t+3)-\ln4\bigr).
Como \ln(t+3)\to\infty quando t\to\infty, essa integral diverge.

Passo 5

Pelo Teste da Integral, como
\displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x+3}\,dx diverge, a série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+3} também diverge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+3} diverge.

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