Verifique que o critério da integral pode ser aplicado e então conclua se as seguintes séries convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para usar o critério da integral na série
.
O conteúdo aqui é o Teste da Integral de Cauchy, que exige definir uma função positiva e decrescente cujo valor em inteiros coincida com o termo da série.
O conteúdo aqui é o Teste da Integral de Cauchy, que exige definir uma função positiva e decrescente cujo valor em inteiros coincida com o termo da série.
Passo 2
Definimos a função
para
.
Verificamos que
Verificamos que
-
em todo , pois . -
é decrescente porque
Passo 3
Pelo critério da integral, a série
e a integral imprópria
convergem ou divergem simultaneamente.
e a integral imprópria
convergem ou divergem simultaneamente.
Passo 4
Calculamos a integral imprópria:
Como
quando
, essa integral diverge.
Passo 5
Pelo Teste da Integral, como
diverge, a série
também diverge.
Resposta
A série
diverge.