Verifique se as sequências a seguir são monótonas e/ou limitadas com n-ésimo termo dado por:
a_{n}=\frac{\cos n}{n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
a_{n} = \frac{\cos n}{n}
quanto à monotonicidade (se é crescente ou decrescente) e à limitação (se existe um limite para todos os termos). Vamos usar as propriedades de \cos n e de divisões por n.

Passo 2

Para verificar se \{a_{n}\} é limitada, usamos que para todo inteiro n vale
-1 \le \cos n \le 1.
Dividindo por n>0, obtemos
-\frac{1}{n} \le \frac{\cos n}{n} \le \frac{1}{n}.
Como para todo n temos \frac{1}{n}\le1, segue que
\bigl|a_{n}\bigr| = \biggl|\frac{\cos n}{n}\biggr|\le \frac{1}{n}\le1.
Portanto, \{a_{n}\} é limitada (por exemplo, está contida em [-1,1]).

Passo 3

Para ser monótona, o sinal de a_{n+1}-a_{n} deveria ser sempre o mesmo. Mas como \cos n oscila de forma não periódica em n\in\mathbb{N}, a sequência muda de sinal e de tamanho de forma irregular. Por exemplo:
a_{1} = \frac{\cos1}{1}\approx0{,}54,\quad a_{2} = \frac{\cos2}{2}\approx-0{,}21,\quad a_{3} = \frac{\cos3}{3}\approx-0{,}33,\quad a_{4} = \frac{\cos4}{4}\approx-0{,}16.
Aqui vemos a_{1}>a_{2}>a_{3}<a_{4}, logo não há um crescimento ou decrescimento contínuo. Portanto, a sequência não é monótona.

Resposta

A sequência a_{n}=\frac{\cos n}{n} não é monótona e é limitada.

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