Verifique se as sequências a seguir são monótonas e/ou limitadas com n-ésimo termo dado por: a_{n}=\frac{\cos n}{n}
Passo 1
O enunciado pede para analisar a sequência
a_{n} = \frac{\cos n}{n}
quanto à monotonicidade (se é crescente ou decrescente) e à limitação (se existe um limite para todos os termos). Vamos usar as propriedades de \cos n e de divisões por n.
Passo 2
Para verificar se \{a_{n}\} é limitada, usamos que para todo inteiro n vale
Portanto, \{a_{n}\} é limitada (por exemplo, está contida em [-1,1]).
Passo 3
Para ser monótona, o sinal de a_{n+1}-a_{n} deveria ser sempre o mesmo. Mas como \cos n oscila de forma não periódica em n\in\mathbb{N}, a sequência muda de sinal e de tamanho de forma irregular. Por exemplo: