Verifique que o critério da integral pode ser aplicado e então conclua se as seguintes séries convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o critério da integral à série
O conteúdo aqui é o teste da integral imprópria: associamos à soma uma função contínua, positiva e decrescente
de modo que
e vemos se
converge ou diverge.
Passo 2
Definimos
- Positividade e continuidade: para
, e , logo ; é produto de funções contínuas, logo contínua. - Monotonia:
Para
, temos
, então
. Assim,
é decrescente em
. Admitimos esse início pois remover um número finito de termos não altera a convergência da série.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Fazemos integração por partes escolhendo
Logo
A integral imprópria vale
Como
quando
, obtemos
Passo 4
Como a integral converge e
satisfaz as condições do teste, concluímos que a série
converge.
Resposta
A série converge pelo critério da integral.