Verifique que o critério da integral pode ser aplicado e então conclua se as seguintes séries convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n / 2}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o critério da integral à série
\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n/2}.
O conteúdo aqui é o teste da integral imprópria: associamos à soma uma função contínua, positiva e decrescente f(x) de modo que f(n)=n e^{-n/2} e vemos se
\int_{1}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x
converge ou diverge.

Passo 2

Definimos
f(x) = x e^{-x/2},\quad x\ge1.
  1. Positividade e continuidade: para x\ge1, x>0 e e^{-x/2}>0, logo f(x)>0; f é produto de funções contínuas, logo contínua.
  2. Monotonia:
f'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(x e^{-x/2}\bigr) = e^{-x/2} + x\bigl(-\tfrac12 e^{-x/2}\bigr) = e^{-x/2}\Bigl(1-\tfrac{x}{2}\Bigr).
Para x\ge2, temos 1-\tfrac{x}{2}\le0, então f'(x)\le0. Assim, f é decrescente em [2,\infty). Admitimos esse início pois remover um número finito de termos não altera a convergência da série.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} x e^{-x/2}\,\mathrm{d}x.
Fazemos integração por partes escolhendo
u = x,\quad \mathrm{d}v = e^{-x/2}\,\mathrm{d}x \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{d}u = \mathrm{d}x,\quad v = -2e^{-x/2}.
Logo
\int x e^{-x/2}\,\mathrm{d}x = u\,v - \int v\,\mathrm{d}u = -2x e^{-x/2} + 2\int e^{-x/2}\,\mathrm{d}x = -2x e^{-x/2} -4e^{-x/2} + C = -2e^{-x/2}(x+2) + C.
A integral imprópria vale
\lim_{b\to\infty}\bigl[-2e^{-x/2}(x+2)\bigr]_{x=1}^{x=b} = \lim_{b\to\infty}\bigl(-2e^{-b/2}(b+2)\bigr) \;-\;\bigl(-2e^{-1/2}(1+2)\bigr).
Como e^{-b/2}(b+2)\to0 quando b\to\infty, obtemos
\int_{1}^{\infty} x e^{-x/2}\,\mathrm{d}x = 0 - \bigl(-6e^{-1/2}\bigr) = 6e^{-1/2} < \infty.

Passo 4

Como a integral converge e f satisfaz as condições do teste, concluímos que a série
\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n/2}
converge.

Resposta

A série converge pelo critério da integral.

Exercícios relacionados