Verifique que o critério da integral pode ser aplicado e então conclua se as seguintes séries convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para usar o critério da integral na série
e, com isso, decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é o teste da integral imprópria, que diz que, se
é positiva, contínua e (eventualmente) decrescente para
e
, então
converge se, e somente se,
converge.
Passo 2
Definimos
- Continuidade e positividade: para
, temos e , logo e é contínua em . - Monotonicidade eventual:
Para
,
implica
. Assim,
para
, ou seja,
é decrescente a partir de
. Isso basta para aplicar o teste da integral na cauda da série (o termo
é zero, sem impacto na convergência).
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Fazendo integração por partes, seja
então
Logo
Passo 4
Avaliaremos cada parte:
1.
1.
pois
quando
.
2.
2.
Portanto,
Passo 5
Como a integral convergiu (é finita), o critério da integral garante que a série
converge.
Resposta
A série converge.