Verifique que o critério da integral pode ser aplicado e então conclua se as seguintes séries convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o critério da integral na série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^{2}}
e, com isso, decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é o teste da integral imprópria, que diz que, se f(x) é positiva, contínua e (eventualmente) decrescente para x\ge1 e f(n)=a_{n}, então
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}
converge se, e somente se,
\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx
converge.

Passo 2

Definimos
f(x)=\frac{\ln x}{x^{2}},\quad x\ge1.
  1. Continuidade e positividade: para x>1, temos \ln x>0 e x^{2}>0, logo f(x)>0 e é contínua em [1,\infty).
  2. Monotonicidade eventual:
f'(x) =\frac{1\cdot x^{2} - \ln x\cdot2x}{x^{4}} =\frac{1-2\ln x}{x^{3}}.
Para x\ge2, \ln x\ge\ln2>0{,}69 implica 1-2\ln x<0. Assim, f'(x)<0 para x\ge2, ou seja, f é decrescente a partir de x=2. Isso basta para aplicar o teste da integral na cauda da série (o termo n=1 é zero, sem impacto na convergência).

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{x^{2}}\,dx.
Fazendo integração por partes, seja
u=\ln x,\quad dv=x^{-2}dx,
então
du=\frac{1}{x}dx,\quad v=-\frac{1}{x}.
Logo
\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{x^{2}}\,dx =\Bigl[-\frac{\ln x}{x}\Bigr]_{1}^{\infty} -\int_{1}^{\infty}\Bigl(-\frac{1}{x}\Bigr)\frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

Avaliaremos cada parte:
1.
\Bigl[-\frac{\ln x}{x}\Bigr]_{1}^{\infty} =\lim_{b\to\infty}\Bigl(-\frac{\ln b}{b}\Bigr) -\Bigl(-\frac{\ln1}{1}\Bigr) =0-0=0,
pois \ln b/b\to0 quando b\to\infty.
2.
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx =\Bigl[-\frac{1}{x}\Bigr]_{1}^{\infty} =0-(-1)=1.
Portanto,
\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{x^{2}}\,dx =0+1=1<\infty.

Passo 5

Como a integral convergiu (é finita), o critério da integral garante que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^{2}}
converge.

Resposta

A série converge.

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