Verifique que o critério da integral pode ser aplicado e então conclua se as seguintes séries convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para verificar o critério da integral na série
Esse teste exige associar à termo geral uma função contínua, positiva e decrescente. Usaremos a função
para
.
Passo 2
Verificamos as condições do teste da integral para
.
-
para , pois o denominador é positivo. - Calculamos a derivada:
para todo
. Logo,
é decrescente em
.
Passo 3
Aplicamos o teste da integral avaliando
Fazemos a substituição
, de modo que
e quando
temos
, enquanto
dá
. Assim,
Calculando o integral impróprio:
O valor é finito, logo a integral converge.
Passo 4
Pelo critério da integral, como
converge e
satisfaz as hipóteses do teste, a série
também converge.
Resposta
A série converge pelo critério da integral.