Verifique que o critério da integral pode ser aplicado e então conclua se as seguintes séries convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar, via critério da integral, a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n+2}}.
O conteúdo que vamos usar é o teste da integral para séries positivas, que exige uma função contínua, positiva e decrescente associada aos termos da série.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}},
para x\ge1.
Verificamos que:
f(x)>0,\quad f\text{ é contínua em }[1,\infty),éí
e
f'(x)=-\tfrac12\,(x+2)^{-3/2}<0\quad\forall x\ge1,
ou seja, f é estritamente decrescente.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral, calculando
\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x+2}} =\lim_{M\to\infty}\int_{1}^{M}(x+2)^{-1/2}dx.
Fazendo a antiderivada:
\int(x+2)^{-1/2}dx =2\sqrt{x+2},
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\int_{1}^{M}(x+2)^{-1/2}dx =\bigl[2\sqrt{x+2}\bigr]_{1}^{M} =2\sqrt{M+2}-2\sqrt{3}.
Tomando M\to\infty obtemos
\lim_{M\to\infty}\bigl(2\sqrt{M+2}-2\sqrt{3}\bigr) =+\infty,
ou seja, a integral diverge.

Passo 4

Pelo critério da integral, se
\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx
diverge, então a série
\sum_{n=1}^{\infty}f(n)
também diverge. Aqui f(n)=1/\sqrt{n+2}, portanto

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n+2}} diverge.

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