Verifique que o critério da integral pode ser aplicado e então conclua se as seguintes séries convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para decidir, usando o critério da integral, se a série
converge ou diverge. O conteúdo é o teste da integral: vamos associar à soma uma função contínua, positiva e decrescente, integrar de
a
e ver se dá valor finito ou infinito.
Passo 2
Definimos a função
para
.
- Ela é positiva e contínua em
porque o denominador . - Falta verificar que
é decrescente em , condição necessária para aplicar o critério da integral.
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Para
temos
, logo
. Assim
é decrescente em
.
Passo 4
Aplicamos a integral imprópria:
Fazendo a substituição
,
, os limites vão de
a
, e
Tomando
dá
Passo 5
Como a integral imprópria diverge, o critério da integral garante que a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.