Verifique que o critério da integral pode ser aplicado e então conclua se as seguintes séries convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 n}{2 n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para decidir, usando o critério da integral, se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4n}{2n^{2}+1}
converge ou diverge. O conteúdo é o teste da integral: vamos associar à soma uma função contínua, positiva e decrescente, integrar de 1 a \infty e ver se dá valor finito ou infinito.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=\frac{4x}{2x^{2}+1},
para x\ge1.
  • Ela é positiva e contínua em [1,\infty) porque o denominador 2x^2+1>0.
  • Falta verificar que f é decrescente em [1,\infty), condição necessária para aplicar o critério da integral.

Passo 3

Calculamos a derivada de f:
f'(x) =\frac{(4)(2x^2+1)-4x\,(4x)}{(2x^2+1)^2} =\frac{8x^2+4-16x^2}{(2x^2+1)^2} =\frac{4-8x^2}{(2x^2+1)^2}.
Para x\ge1 temos 4-8x^2\le4-8<0, logo f'(x)<0. Assim f é decrescente em [1,\infty).

Passo 4

Aplicamos a integral imprópria:
\int_{1}^{\infty}\frac{4x}{2x^{2}+1}\,dx =\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{4x}{2x^{2}+1}\,dx.
Fazendo a substituição u=2x^2+1, du=4x\,dx, os limites vão de u(1)=3 a u(b)=2b^2+1, e
\int_{1}^{b}\frac{4x}{2x^{2}+1}\,dx =\int_{3}^{2b^2+1}\frac{1}{u}\,du =\bigl[\ln(u)\bigr]_{3}^{2b^2+1} =\ln(2b^2+1)-\ln(3).
Tomando b\to\infty
\lim_{b\to\infty}\bigl(\ln(2b^2+1)-\ln(3)\bigr) =+\infty.

Passo 5

Como a integral imprópria diverge, o critério da integral garante que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4n}{2n^{2}+1}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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