Verifique que o critério da integral pode ser aplicado e então conclua se as seguintes séries convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{4}+2 n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para usar o critério da integral na série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{4}+2n^{2}+1}.
O conteúdo aqui é o teste integral para séries positivas: devemos associar à soma a função
f(x) = \frac{x}{x^{4}+2x^{2}+1},
verificar que f é contínua, positiva e decrescente em [1,\infty), e estudar a convergência de
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx.

Passo 2

Verificamos as condições do teste:
  1. Para x\ge1, claramente f(x)>0.
  2. Calculamos a derivada para checar decrescimento:
f'(x) =\frac{(x^{4}+2x^{2}+1)\cdot1 - x\,(4x^{3}+4x)}{(x^{4}+2x^{2}+1)^{2}} =\frac{x^{4}+2x^{2}+1 - 4x^{4}-4x^{2}}{(x^{4}+2x^{2}+1)^{2}} =\frac{-3x^{4}-2x^{2}+1}{(x^{4}+2x^{2}+1)^{2}}.
Para x\ge1, o numerador -3x^{4}-2x^{2}+1 é negativo, logo f'(x)<0. Assim f é decrescente em [1,\infty).

Passo 3

Calculamos a integral imprópria associada:
\int_{1}^{\infty} \frac{x}{x^{4}+2x^{2}+1}\,dx.
Use a substituição u = x^{2}, de modo que du = 2x\,dx. Então
\int_{1}^{\infty} \frac{x}{x^{4}+2x^{2}+1}\,dx =\frac12 \int_{u=1}^{u=\infty} \frac{1}{u^{2}+2u+1}\,du =\frac12 \int_{1}^{\infty} \frac{1}{(u+1)^{2}}\,du.
Essa integral é imediata:
\int \frac{1}{(u+1)^{2}}\,du = -\frac{1}{u+1},
então
\frac12 \Bigl[-\frac{1}{u+1}\Bigr]_{1}^{\infty} =\frac12 \Bigl(0 - \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)\Bigr) =\frac{1}{4}.
Como o valor é finito, a integral converge.

Passo 4

Pelo critério da integral, se \displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
converge e f é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty), então a série \sum_{n=1}^{\infty} f(n)
também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{4}+2n^{2}+1}
converge.

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