Verifique se a curva
possui vetor binormal de módulo constante.
Verifique se a curva
possui vetor binormal de módulo constante.
Verifique se a curva
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede para verificar se o vetor binormal tem módulo constante.
O vetor binormal faz parte do referencial de Frenet , em que
e pede para verificar se o vetor binormal tem módulo constante.
O vetor binormal faz parte do referencial de Frenet
-
é o vetor tangente unitário, -
é o vetor normal unitário, -
é o vetor binormal unitário.
Passo 2
Vamos primeiro calcular a velocidade e o vetor tangente unitário.
Derivando,
Derivando,
O módulo de
é
Logo o vetor tangente unitário é
Passo 3
Para formar o binormal definimos primeiro o vetor normal unitário
mas não precisamos do seu valor explícito: sabemos que
é unitário e ortogonal a
.
Passo 4
Por definição de Frenet, o vetor binormal é
Como
e
têm módulo unitário e são ortogonais, seu produto vetorial também tem módulo unitário:
Portanto o módulo de
é constante e igual a
.
Resposta
Sim. O vetor binormal
tem módulo constante, pois
para todo
.