Verifique se a curva
possui vetor binormal de módulo constante.
Verifique se a curva \vec{r}(t)=(\operatorname{cosh} t, \operatorname{sinh} t, t) possui vetor binormal de módulo constante.

Passo 1

O enunciado dá a curva \displaystyle \vec r(t)=(\operatorname{cosh} t,\operatorname{sinh} t,t)
e pede para verificar se o vetor binormal tem módulo constante.
O vetor binormal faz parte do referencial de Frenet (\mathbf T,\mathbf N,\mathbf B), em que
  • \mathbf T é o vetor tangente unitário,
  • \mathbf N é o vetor normal unitário,
  • \mathbf B=\mathbf T\times\mathbf N é o vetor binormal unitário.

Passo 2

Vamos primeiro calcular a velocidade e o vetor tangente unitário.
Derivando,
\vec r\,'(t) = (\operatorname{sinh} t,\;\operatorname{cosh} t,\;1).
O módulo de \vec r\,'(t) é
\|\vec r\,'(t)\| =\sqrt{\operatorname{sinh}^2t+\operatorname{cosh}^2t+1} =\sqrt{\bigl(\operatorname{cosh}^2t-1\bigr)+\operatorname{cosh}^2t+1} =\sqrt{2\operatorname{cosh}^2t} =\sqrt2\,\operatorname{cosh} t.
Logo o vetor tangente unitário é
\mathbf T(t) =\frac{\vec r\,'(t)}{\|\vec r\,'(t)\|} =\frac{1}{\sqrt2\,\operatorname{cosh} t}\,(\operatorname{sinh} t,\;\operatorname{cosh} t,\;1).

Passo 3

Para formar o binormal definimos primeiro o vetor normal unitário
\mathbf N(t) =\frac{\mathbf T'(t)}{\|\mathbf T'(t)\|},
mas não precisamos do seu valor explícito: sabemos que \mathbf N é unitário e ortogonal a \mathbf T.

Passo 4

Por definição de Frenet, o vetor binormal é
\mathbf B(t)=\mathbf T(t)\times\mathbf N(t).
Como \mathbf T e \mathbf N têm módulo unitário e são ortogonais, seu produto vetorial também tem módulo unitário:
\|\mathbf B(t)\| =\|\mathbf T(t)\|\;\|\mathbf N(t)\|\;\sin 90^\circ =1\cdot1\cdot1 =1.
Portanto o módulo de \mathbf B(t) é constante e igual a 1.

Resposta

Sim. O vetor binormal \mathbf B(t) tem módulo constante, pois \|\mathbf B(t)\|=1 para todo t.

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