Para
, calcule
e
nos pontos em que
.
Para \vec{r}(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right), calcule \vec{T}(t) e \vec{N}(t) nos pontos em que t \neq 0.

Passo 1

Temos a curva de espaço
\vec{r}(t)=\bigl(t,\;t^{2},\;t^{3}\bigr)
e queremos as fórmulas do versor tangente \vec{T}(t) e do versor normal principal \vec{N}(t) para t\neq0. Vamos usar:
  1. \vec{T}(t)=\dfrac{\vec{r}\,'(t)}{\|\vec{r}\,'(t)\|}.
  2. \vec{N}(t)=\dfrac{\bigl(r'(t)\times r''(t)\bigr)\times r'(t)}{\|r'(t)\times r''(t)\|\;\|r'(t)\|}.

Passo 2

Calcular \vec{r}\,'(t) e seu módulo:
\vec{r}\,'(t)=\bigl(1,\;2t,\;3t^{2}\bigr),
\|\vec{r}\,'(t)\|=\sqrt{1+(2t)^{2}+(3t^{2})^{2}}=\sqrt{\,1+4t^{2}+9t^{4}\,}.

Passo 3

O versor tangente é
\vec{T}(t)=\frac{\vec{r}\,'(t)}{\|\vec{r}\,'(t)\|} =\frac{\bigl(1,\;2t,\;3t^{2}\bigr)}{\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}}.

Passo 4

Para \vec{N}(t) precisamos de \vec{r}''(t) e do produto vetorial:
\vec{r}''(t)=\bigl(0,\;2,\;6t\bigr),
\vec{r}\,'(t)\times\vec{r}''(t) =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&2t&3t^{2}\\\\ 0&2&6t \end{vmatrix} =\bigl(6t^{2},\,-6t,\,2\bigr).
Então
\bigl(\vec{r}\,'\times\vec{r}''\bigr)\times\vec{r}\,' =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 6t^{2}&-6t&2\\\\ 1&2t&3t^{2} \end{vmatrix} =\bigl(-2t(9t^{2}+2),\;2(1-9t^{4}),\;6t(2t^{2}+1)\bigr).

Passo 5

O módulo de \vec{r}'\times\vec{r}'' é
\|\vec{r}\,'\times\vec{r}''\| =2\sqrt{9t^{4}+9t^{2}+1},
e \|\vec{r}\,'\|=\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}. Logo
\vec{N}(t) =\frac{\bigl(\vec{r}\,'\times\vec{r}''\bigr)\times\vec{r}\,'} {\|\vec{r}\,'\times\vec{r}''\|\;\|\vec{r}\,'\|} =\frac{\bigl(-t(9t^{2}+2),\,1-9t^{4},\,3t(2t^{2}+1)\bigr)} {\sqrt{9t^{4}+9t^{2}+1}\;\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}}.

Resposta

\displaystyle \vec{T}(t)=\frac{\bigl(1,\;2t,\;3t^{2}\bigr)}{\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}}, \quad \vec{N}(t)=\frac{\bigl(-t(9t^{2}+2),\;1-9t^{4},\;3t(2t^{2}+1)\bigr)} {\sqrt{9t^{4}+9t^{2}+1}\;\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}}, \quad t\neq0.

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