Determine os vetores do triedro de Frenet para
, onde
.
Determine os vetores do triedro de Frenet para \vec{r}(t)=(a \cos t, a \sin t, b t), onde a, b>0.

Passo 1

O enunciado pede os vetores do triedro de Frenet para \vec r(t)=(a\cos t,\;a\sin t,\;b\,t) com a,b>0.
O conteúdo aqui é a construção do triedro de Frenet usando
  1. o vetor tangente unitário \displaystyle T=\frac{\vec r'}{\|\vec r'\|},
  2. o vetor normal principal \displaystyle N=\frac{T'}{\|T'\|},
  3. e o binormal \displaystyle B=T\times N.

Passo 2

Calcular primeiro a derivada e a velocidade:
\vec r\,'(t)=(-a\sin t,\;a\cos t,\;b),
\|\vec r\,'(t)\|=\sqrt{(-a\sin t)^2+(a\cos t)^2+b^2} =\sqrt{a^2+b^2}.
Logo o vetor tangente unitário é
T(t) =\frac{\vec r\,'(t)}{\|\vec r\,'(t)\|} =\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\bigl(-a\sin t,\;a\cos t,\;b\bigr).

Passo 3

Para obter N, derivamos T(t) e normalizamos:
T'(t) =\frac{d}{dt}\Bigl[\frac{-a\sin t}{\sqrt{a^2+b^2}},\;\frac{a\cos t}{\sqrt{a^2+b^2}},\;\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\Bigr] =\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\bigl(-a\cos t,\;-a\sin t,\;0\bigr).
Sua norma é
\|T'(t)\|=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},
de onde vem
N(t) =\frac{T'(t)}{\|T'(t)\|} =\bigl(-\cos t,\;-\,\sin t,\;0\bigr).

Passo 4

Finalmente o binormal sai do produto vetorial:
B(t)=T(t)\times N(t).
Fazendo o determinante,
T\times N =\det\begin{pmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\[6pt] -\frac{a\sin t}{\sqrt{a^2+b^2}}& \frac{a\cos t}{\sqrt{a^2+b^2}}& \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[6pt] -\cos t&-\sin t&0 \end{pmatrix} =\bigl(b\sin t,\;-b\cos t,\;a\bigr)\Big/\sqrt{a^2+b^2}.
Isso produz o vetor unitário
B(t) =\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\bigl(b\sin t,\;-b\cos t,\;a\bigr).]

Resposta

T(t)=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\bigl(-a\sin t,\;a\cos t,\;b\bigr),
N(t)=\bigl(-\cos t,\;-\,\sin t,\;0\bigr),
B(t)=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\bigl(b\sin t,\;-b\cos t,\;a\bigr).

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