Verifique se a curva \r \vec{r}(t)=\left(t^{2}+1, \ln (t)\right)\r para \r t>0\r é regular.

Passo 1

O enunciado dá a curva no plano \vec{r}(t)=\bigl(t^{2}+1,\ln(t)\bigr) para t>0
e pede para verificar se ela é regular. Uma curva é regular se sua derivada nunca for o vetor zero, ou seja, \vec{r}\,'(t)\neq\vec{0} para todo t no domínio.

Passo 2

Vamos calcular a derivada componente a componente. Para \vec{r}(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr) temos
x(t)=t^{2}+1,\quad y(t)=\ln(t).
Logo,
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}+1\bigr)=2t, \qquad y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(\ln(t)\bigr)=\frac{1}{t}.

Passo 3

Assim,
\vec{r}\,'(t)=\bigl(2t,\tfrac{1}{t}\bigr).
Para t>0 temos 2t>0 e \tfrac{1}{t}>0. Portanto, nenhum dos componentes é zero simultaneamente, isto é,
\vec{r}\,'(t)\neq\bigl(0,0\bigr) \quad\forall\,t>0.

Passo 4

Como a derivada nunca resulta no vetor nulo no domínio t>0, a curva satisfaz a condição de regularidade.

Resposta

A curva \vec{r}(t)=\bigl(t^{2}+1,\ln(t)\bigr) é regular, pois \vec{r}\,'(t)=(2t,1/t)\neq\vec{0} para todo t>0.

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