Dada \r \vec{r}(t)=\left(t^{3}, 3 t^{2}\right)\r, encontre todos os pontos onde o vetor tangente é paralelo ao vetor \r (1,1)\r.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\vec r(t)=\bigl(t^3,\;3t^2\bigr)
e pede os pontos onde o vetor tangente é paralelo a (1,1).
O conteúdo aqui é geometria de curvas paramétricas: a derivada \vec r'(t) fornece o vetor tangente, e vetores são paralelos quando um é múltiplo escalar do outro.

Passo 2

Calculemos a derivada de \vec r(t). Como \vec r(t)=(x(t),y(t)) com x(t)=t^3 e y(t)=3t^2, temos
\vec r'(t)=\bigl(x'(t),\,y'(t)\bigr)=\bigl(3t^2,\;6t\bigr).

Passo 3

Para que \vec r'(t)\) seja paralelo a \((1,1)\), deve existir um escalar \(\lambda\) tal que \[\bigl(3t^2,\,6t\bigr)=\lambda\,(1,1).
Isso implica no sistema
\begin{cases} 3t^2=\lambda,\\\\ 6t=\lambda. \end{cases}
Igualando as duas expressões para (\lambda], obtemos
3t^2=6t.

Passo 4

Resolvendo
3t^2-6t=0 \quad\Longrightarrow\quad 3t(t-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad t=0\quad\text{ou}\quad t=2.
Em t=0 temos \vec r'(0)=(0,0), vetor zero que não define direção, então desconsideramos para paralelismo não degenerado. O caso relevante é t=2.

Passo 5

O ponto correspondente em t=2 é
\vec r(2)=\bigl(2^3,\;3\cdot2^2\bigr)=(8,12).
E de fato
\vec r'(2)=\bigl(3\cdot2^2,\;6\cdot2\bigr)=(12,12)
é múltiplo de (1,1).

Resposta

O único ponto em que o vetor tangente não-nulo é paralelo a (1,1) é
(8,12).

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