Dada \r\vec{r}(t)=\left(t^{3}, 3 t^{2}\right)\r, encontre todos os pontos onde o vetor tangente é paralelo ao vetor \r(1,1)\r.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
\vec r(t)=\bigl(t^3,\;3t^2\bigr)
e pede os pontos onde o vetor tangente é paralelo a (1,1).
O conteúdo aqui é geometria de curvas paramétricas: a derivada \vec r'(t) fornece o vetor tangente, e vetores são paralelos quando um é múltiplo escalar do outro.
Passo 2
Calculemos a derivada de \vec r(t). Como \vec r(t)=(x(t),y(t)) com x(t)=t^3 e y(t)=3t^2, temos