Seja \r \vec{r}(t)=\left(e^{t} \cos t, e^{t} \sin t\right)\r. Calcule \r \vec{r}^{\prime}(t)\r e determine o módulo do vetor tangente em \r t=0\r.

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial \vec{r}(t)=\bigl(e^{t}\cos t,\;e^{t}\sin t\bigr) e pede (i) a derivada \vec{r}'(t) e (ii) o módulo do vetor tangente em t=0. Vamos usar a regra do produto em cada componente para obter \vec{r}'(t) e, em seguida, calcular seu comprimento em t=0.

Passo 2

Derivando cada componente por regra do produto:
a) Para x(t)=e^{t}\cos t:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\cos t\bigr) =e^{t}\cos t - e^{t}\sin t =e^{t}(\cos t - \sin t).
b) Para y(t)=e^{t}\sin t:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\sin t\bigr) =e^{t}\sin t + e^{t}\cos t =e^{t}(\sin t + \cos t).
Logo,
\vec{r}'(t) =\bigl(e^{t}(\cos t - \sin t),\;e^{t}(\sin t + \cos t)\bigr).

Passo 3

Avaliação em t=0: como \cos0=1 e \sin0=0, temos
\vec{r}'(0) =\bigl(e^{0}(1-0),\;e^{0}(0+1)\bigr) =(1,1).

Passo 4

O módulo de \vec{r}'(0)=(1,1) é
\lVert\vec{r}'(0)\rVert =\sqrt{1^{2}+1^{2}} =\sqrt{2}.

Resposta

\vec{r}'(t)=\bigl(e^{t}(\cos t - \sin t),\;e^{t}(\sin t + \cos t)\bigr) \lVert\vec{r}'(0)\rVert=\sqrt{2}

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