Verifique a definição formal de cada tipo de limite e qual se aplica aos limites dados abaixo e prove-os:
lim x +infty x+3x^2-5 x+8=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar a definição formal de limites que existe e aplicar a que cabe ao seguinte caso:
limx to +infty x+3x^2-5x+8 = 0
O conteúdo aqui é “limite de função quando xto +infty”, e vamos usar a definição varepsilon M.

Passo 2

Apresentamos as quatro definições formais de limite de função:
1. Definição de limite finito no ponto
limx to af(x)=L
se, e somente se,
forall varepsilon>0;exists de<a>0;tal que, se 0<|x-a|<de<a, então |f(x)-L|<varepsilon ã
2. Definição de limite infinito no ponto
limx to af(x)=+infty
se, e somente se,
forall N>0;exists de<a>0;tal que, se 0<|x-a|<de<a, então f(x)>N ã
3. Definição de limite finito no infinito
limx to +inftyf(x)=L
se, e somente se,
forall varepsilon>0;exists M;tal que, se x>M, então |f(x)-L|<varepsilon ã
4. Definição de limite infinito no infinito
limx to +inftyf(x)=+infty
se, e somente se,
forall N>0;exists M;tal que, se x>M, então f(x)>N ã

Passo 3

O limite dado
limx to +infty x+3x^2-5x+8
é do tipo “limite finito no infinito”, portanto usaremos a definição 3.

Passo 4

Seja varepsilon>0. Queremos encontrar M tal que, para todo x>M, valha
|x+3x^2-5x+8-0|<varepsilon
Como, para x grande, o denominador é positivo, basta controlar
x+3x^2-5x+8<varepsilon

Passo 5

Para x>= 8 temos
x+3<= x+x=2x e x^2-5x+8 >= x^2-5x >= x^2-tfrac12x^2 = tfrac12x^2
Logo, para x>= 8,
x+3x^2-5x+8 <= 2xtfrac12x^2 = 2xx^2/2 = 4x

Passo 6

Queremos então 4x < varepsilon, i.e.\ x > 4varepsilon. Basta escolher
M = maxl8,;4varepsilonr
Assim, para todo x > M temos
|x+3x^2-5x+8| <= 4x < varepsilon,
o que demonstra, pela definio formal, que
limxto+infty x+3x^2-5x+8 = 0.

Resposta

0

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