Verifique a definição formal de cada tipo de limite e qual se aplica aos limites dados abaixo e prove-os:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição
–
de limite (limite bilateral, ou seja,
sem restrição de lado), que
Conteúdo: definição formal de limite finito. Precisaremos manipular
e escolher
de<a em função de
epsilon .
Passo 2
Definição formal de limite finito (bilateral): dizemos que
se, para todo
varepsilon>0 , existe
de<a>0 tal que, sempre que
0<|x-2|<de<a , vale
Aqui
f(x)=raizx^2+7x-9 . Vamos, dado
varepsilon>0 , achar
de<a>0 satisfazendo
l|raizx^2+7x-9-3r|<varepsilon .
Passo 3
Começamos manipulando
Para controlar isso, restringimos
x a um intervalo em que todas as quantidades fiquem bem comportadas. Como a raiz exige
x^2+7x-9>=0 , nota-se que a raiz muda de sinal em
Para ficar perto de
2 , basta exigir
|x-2|<0,8 ; assim
xin(1,2,2,8) , que está no domínio da raiz. Nesse intervalo temos
logo
Portanto, para
|x-2|<0,8 ,
Passo 4
Queremos
4,|x-2|<varepsilon , ou seja
|x-2|<varepsilon/4 . Também precisamos
|x-2|<0,8 . Logo basta definir
Então, sempre que
0<|x-2|<de<a , temos
l|raizx^2+7x-9-3r|<varepsilon .
Passo 5
Isso completa a prova
epsilon –
de<a de que
Resposta
Foi demonstrado, pelo método
epsilon –
de<a , que