Verifique a definição formal de cada tipo de limite e qual se aplica aos limites dados abaixo e prove-os:
lim x 2 raizx^2+7 x-9=3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição epsilon de<a de limite (limite bilateral, ou seja, xto2 sem restrição de lado), que
limxto2raizx^2+7x-9=3
Conteúdo: definição formal de limite finito. Precisaremos manipular l|raizx^2+7x-9-3r| e escolher de<a em função de epsilon.

Passo 2

Definição formal de limite finito (bilateral): dizemos que
limxto2f(x)=3
se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-2|<de<a, vale
l|f(x)-3r|<varepsilon
Aqui f(x)=raizx^2+7x-9. Vamos, dado varepsilon>0, achar de<a>0 satisfazendo
l|raizx^2+7x-9-3r|<varepsilon.

Passo 3

Começamos manipulando
l|raizx^2+7x-9-3r| =l|x^2+7x-9-9r|raizx^2+7x-9+3 =|x^2+7x-18|raizx^2+7x-9+3 =|x-2|;|x+9|raizx^2+7x-9+3
Para controlar isso, restringimos x a um intervalo em que todas as quantidades fiquem bem comportadas. Como a raiz exige x^2+7x-9>=0, nota-se que a raiz muda de sinal em
x^2+7x-9=0Longrightarrow x=-7pmraiz49+362approx1,11 ou -8,11
Para ficar perto de 2, basta exigir |x-2|<0,8; assim xin(1,2,2,8), que está no domínio da raiz. Nesse intervalo temos
|x+9|<= 2,8+9=11,8<12,
x^2+7x-9>= (1,2)^2+7cdot1,2-9=0,84Longrightarrow raizx^2+7x-9>=raiz0,84approx0,9,
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raizx^2+7x-9+3>=0,9+3=3,9>3
Portanto, para |x-2|<0,8,
l|raizx^2+7x-9-3r| <=12,|x-2|3,9 <4,|x-2|

Passo 4

Queremos 4,|x-2|<varepsilon, ou seja |x-2|<varepsilon/4. Também precisamos |x-2|<0,8. Logo basta definir
de<a=minl0,8,;varepsilon4r
Então, sempre que 0<|x-2|<de<a, temos l|raizx^2+7x-9-3r|<varepsilon.

Passo 5

Isso completa a prova epsilon de<a de que
limxto2raizx^2+7x-9=3

Resposta

Foi demonstrado, pelo método epsilon de<a, que
limxto2raizx^2+7x-9=3

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